Moment setrvačnosti: Porovnání verzí

Přidáno 13 bajtů ,  před 6 lety
m
narovnání přesměrování
m (narovnání přesměrování)
Celkovou [[kinetická energie|kinetickou energii]] určíme jako součet kinetických energií všech <math>n</math> hmotných bodů soustavy, tzn.
:<math>E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2</math>,
kde <math>m_i</math> je hmotnost <math>i</math>-tého hmotného bodu, <math>v_i</math> je velikost jeho rychlosti, <math>r_i</math> je jeho ([[kolmostOrtogonalita|kolmá]]) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že [[Rychlost (mechanika)|rychlost]] bodu při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] je přímo úměrná [[vzdálenost]]i bodu od osy otáčení, tzn. <math>v = \omega r</math>.
Předchozí vztah lze upravit na tvar
:<math>E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2</math>,
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.
 
* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem tyče [[kolmostOrtogonalita|kolmo]] k její délce
:<math>J = \frac{1}{12}m l^2</math>
 
* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející koncem tyče [[kolmostOrtogonalita|kolmo]] k její délce
:<math>J = \frac{1}{3}m l^2</math>
 
Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo [[těžiště]] tělesa lze určit podle [[Steinerova věta|Steinerovy věty]] jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k [[rovnoběžky|rovnoběžné]] ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
:<math>J = J_0 + m r_T^2</math>,
kde <math>J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, <math>m</math> je hmotnost tělesa a <math>r_T</math> je [[kolmostOrtogonalita|kolmá]] vzdálenost těžiště od osy otáčení.
 
== Tenzor setrvačnosti ==
 
 
Položíme-li do [[těžiště]] tělesa počátek pravoúhlé [[soustava souřadnic|soustavy souřadnic]], potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně [[kolmostOrtogonalita|kolmým]] rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou
:<math>J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m</math>
:<math>J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m</math>
201 018

editací