Pohybová rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Bot: Odstranění 26 odkazů interwiki, které jsou nyní dostupné na Wikidatech (d:q215007) |
m WPCleaner v1.29 - wikilinks |
||
Řádek 1:
'''Pohybová rovnice''' je [[matematika|matematicky]] zapsaný [[fyzika|fyzikální]] vztah, který popisuje možné [[Mechanický pohyb|pohyby]] tělesa v daném prostředí. Tělesem se rozumí například klasické [[tuhé těleso]] nebo [[testovací částice]], případně i soustava těles respektive [[částice|částic]]. Prostředím se míní zejména [[síla|síly]] a [[
Řešením pohybové rovnice je [[poloha tělesa]] v libovolném okamžiku. V [[klasická mechanika|klasické mechanice]] tedy řešení popisuje [[trajektorie|trajektorii]] tělesa. V [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]], která je [[pravděpodobnost]]ní teorií, jde o poněkud obecnější problém, výsledkem je časově proměnná [[vlnová funkce]].
Řešení obvykle není jednoznačné, protože v daném prostředí se lze pohybovat více způsoby. Pohyb je určen jednoznačně teprve po stanovení tzv. [[počáteční podmínky|počátečních podmínek]], například počáteční [[
== Tvar rovnice a počáteční podmínky ==
Řádek 11:
== Klasická mechanika ==
Vychází se z [[Newtonovy pohybové zákony|Newtonových pohybových zákonů]]. [[Zákon setrvačnosti]] definuje [[
:<math>\mathbf{F} = m \frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}\,,</math>
kde ''m'' je [[hmotnost]] tělesa násobená druhou časovou [[derivace|derivací]] vektoru polohy <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)</math>, na levé straně je [[vektor]] působící [[síla|síly]]. Za sílu se přitom dosadí [[funkce (matematika)|funkce]] [[čas]]u, [[poloha tělesa|polohy]] nebo i [[rychlost]]i, podle konkrétní situace, tzn. <math>\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t)</math>. (Například v [[
=== Pohybové rovnice při působení nulové síly ===
Řádek 42:
Těleso v tomto případě vykonává obecný [[křivočarý pohyb]]. Při řešení se postupuje podobně jako v případě hledání sil při obecném křivočarém pohybu.
Příkladem takového pohybu je [[Vrh šikmý|šikmý vrh]].
=== Harmonický kmitavý pohyb ===
Mějme takové prostředí, že síla působící na těleso je [[
:<math>-ky = m \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d}t^2}\,,</math>
kde <math>y=y(t)</math> je výchylka z rovnovážné polohy, ''m'' je hmotnost tělesa. V případě pružiny má konstanta ''k'' význam [[tuhost]]i. Řešením rovnice jsou všechny funkce ve tvaru
Řádek 54:
Při obecném [[křivočarý pohyb|křivočarém pohybu]] po zakřivené dráze nemá obecně [[zrychlení]] <math>\mathbf{a}</math> směr [[tečna|tečny]] ke [[křivka|křivce]] dráhy ([[trajektorie|trajektorii]]).
Rozložíme-li působící sílu <math>\mathbf{F}</math> na [[
:<math>F_t = ma_t = m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}</math>
:<math>F_n = ma_n = m\frac{v^2}{\rho}</math>
kde <math>v</math> je [[Rychlost|okamžitá rychlost]] a <math>\rho</math> je [[poloměr křivosti]] dráhy.
Tečná složka <math>F_t</math> mění velikost rychlosti tělesa, normálová složka <math>F_n</math> mění směr rychlosti. Normálová složky směřuje do středu křivosti dráhy, proto se nazývá [[dostředivá síla|silou dostředivou (centripetální)]].
Řádek 71:
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] lze pohybovou rovnici vyjádřit [[soustava rovnic|soustavou]] [[parciální diferenciální rovnice|parciálních diferenciálních rovnic]] ve tvaru
:<math>\frac{\part \sigma_{ij}}{\part x_j} + G_i = \rho \frac{\mathrm{d}^2 u_i}{\mathrm{d}t^2}</math>,
kde bylo použito [[Einsteinova konvence|Einsteinovo sumační pravidlo]] a <math>\sigma_{ij}</math> je [[tenzor napětí]], <math>G_i</math> jsou složky [[objemová síla|objemové síly]], <math>\rho</math> je [[hustota]] a <math>u_i</math> jsou složky [[
Vhodnou úpravou lze získat rovnice použitelné pro určitou [[látka|látku]]. Např. pro [[proudění|pohyb]] viskózní tekutiny jsou pohybovými rovnicemi [[
== Teorie relativity ==
V [[
:<math>\mathbf{F} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}</math>,
tzn. [[síla]] <math>\mathbf{F}</math> je rovna časové změně [[hybnost]]i <math>\mathbf{p}</math>.
Řádek 83:
=== Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v teorii relativity ===
Pokud předpokládáme, že na [[pohyb]]ující se [[těleso]] působí [[síla]], která má stejný směr jako pohybující se těleso, přičemž v okamžitě klidovém systému tělesa zůstává velikost této síly stejná, tzn. nemění se v čase. Pak (v této klidové soustavě) bude konstantní také [[zrychlení]] vzhledem k okamžitě klidové soustavě, které je pro pozorovatele spojeného s tělesem mírou [[
Nechť síla působí ve směru osy ''x'' na těleso, které se v [[čas]]e <math>t=0</math> nachází v bodě <math>x=0</math> a má [[nula|nulovou]] [[rychlost]], tzn. <math>v=0</math>. Z relativistické pohybové rovnice bude platit
Řádek 103:
Pokud výraz pro polohu přepíšeme do tvaru
:<math>{\left(x+\frac{c^2}{g}\right)}^2 - c^2t^2 = \frac{c^4}{g^2}</math>
Tato [[rovnice]] představuje rovnici [[hyperbola|hyperboly]]. [[Graf
=== Relativistický pohyb v homogenním magnetickém poli ===
Řádek 110:
Tento vztah platí i v [[teorie relativity|teorii relativity]].
Předpokládejme, že magnetické pole je [[homogenní pole|homogenní]], [[statické pole|časově neproměnné]], a [[vektor]] <math>\mathbf{B}</math> má směr [[
▲Předpokládejme, že magnetické pole je [[homogenní pole|homogenní]], [[statické pole|časově neproměnné]], a [[vektor]] <math>\mathbf{B}</math> má směr [[souřadnicová osa|osy]] ''z''.
Omezíme-li se na popis pohybu v [[rovina|rovině]] ''xy'', dostaneme pohybové rovnice
Řádek 118 ⟶ 117:
V nerelativistické fyzice bychom do těchto rovnic dosadili <math>\mathbf{p}=m_0\mathbf{v}</math> a řešením by byl [[pohyb po kružnici]] s [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] <math>\omega_0=\frac{eB}{m_0}</math>. V teorii relativity je však [[relativistická hmotnost|hmotnost]] závislá na rychlosti.
[[násobení|Vynásobíme]] první z rovnic <math>v_x</math> a druhou z rovnic <math>v_y</math> a [[
:<math>v_x\frac{\mathrm{d}p_x}{\mathrm{d}t} + v_y\frac{\mathrm{d}p_y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0</math>
[[Integrál|Integrací]] dostaneme [[zákon zachování energie]]
Řádek 142 ⟶ 141:
kde <math>\gamma</math> je [[Lorentzův faktor]].
Volbou [[
Pohybové rovnice lze vyjádřit jako
Řádek 150 ⟶ 149:
Tato rovnice v sobě zahrnuje nejen relativistické pohybové rovnice, ale také vztah pro časovou změnu [[energie]], tzn.
:<math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \mathbf{f}\cdot\mathbf{v}</math>
Uvedené rovnice platí pouze za předpokladu konstantnosti klidové hmotnosti, tzn. <math>\frac{\mathrm{d}m_0}{\mathrm{d}\tau}=0</math>. Tyto procesy jsou označovány jako ''mechanické''. Dochází-li ke změně klidové energie (a tedy i změně klidové hmotnosti), jedná se o procesy nemechanické. Příkladem nemechanického procesu je např. ohřívání tělesa, tedy zvyšování jeho klidové energie.
Řádek 156 ⟶ 154:
U mechanických procesů platí
:<math>\mathbf{F}_M\cdot\mathbf{U} = \eta_{\iota\kappa}F_M^\iota U^\kappa = 0</math>
Podle tohoto vztahu je tedy za uvedených podmínek čtyřsíla [[
== Kvantová mechanika ==
| |||