Schwedlerova věta

Schwedlerova věta udává vztah mezi ohybovým momentem a posouvající (smykovou, příčnou) silou, jež představují staticky ekvivalentní náhradu napětí působících v libovolném průřezu ohýbaného přímého nosníku. Věta je připisována německému stavebnímu inženýrovi Johannu Wilhelmu Schwedlerovi, který ji publikoval v roce 1851[1]. Schwedlerova věta se užívá při vyšetřování namáhání nosníků[2]. Schwedlerova věta se také někdy nazývá Schwedler-Žuravského věta[3].

OdvozeníEditovat

 
Zatížení elementu nosníku - znaménková konvence.

Schwedlerova věta popisuje statickou momentovou rovnováhu části nosníku vymezené dvěma průřezy, jejichž vzdálenost se limitně blíží nule:

 

kde   a   představují velikost momentové a silové výslednice napětí působících po průřezu nosníku,   je velikost spojitého příčného zatížení nosníku,   označuje polohu průřezu nosníku po délce nosníku a   je označení diferenciálu. Protože člen   je zanedbatelně malý vzhledem ke zbývajícím členům rovnice momentové rovnováhy, lze psát

 

respektive

 

 

 

 

 

(1)

Poslední vztah se označuje jako Schwedlerova věta. Vyplývá z něj, že ohybový moment nabývá extrémních hodnot v místech, kde je posouvající síla   nulová.


Na základě podmínky statické rovnováhy pro příčné zatížení nosníku

 

pro posouvající sílu platí

 

 

 

 

 

(2)

a Schwedlerovu větu pak lze vyjádřit ve tvaru

 

 

 

 

 

(3)


 
Osové zatížení elementu nosníku - znaménková konvence.

Pojem Schwedlerova věta se někdy používá pro vztahy (1) – (3)[2], popřípadě ještě pro vztah mezi osovou silou   a spojitým osovým zatížením  [4], který lze odvodit z podmínky silové rovnováhy ve směru osy nosníku:

 

Odvození pro nosník na pružném podkladuEditovat

Odkaz na odvození Schwedlerových vět pro nosníky na pružném podkladu.

HistorieEditovat

 
Schwedlerova kresba užitá při odvození vztahu (4).

Odvození vztahu lze najít v první části Schwedlerovy práce o teorii nosníkových mostních konstrukcí publikovaná v roce 1851, byť v odlišném tvaru [1]:

 

 

 

 

 

(4)

kde   jsou normálové vnitřní síly působící po výšce průřezu,   jsou smykové vnitřní síly působící po výšce průřezu a   jsou vzdálenosti působišť sil od spodní strany nosníku. Schwedler při odvození postupoval tak, že nejprve rozdělil nosník myšleným řezem na dvě části, potom sepsal podmínku rovnováhy jedné části nosníku a derivací této podmínky podle   dospěl k výše uvedenému vztahu (4).

Zmínku o tom, že Schwedler byl první, kdo poukázal na vztah mezi derivací ohybového momentu a posouvající silou, lze najít v knize Der Bau der Brückenträger z roku 1857[5]. Karl Pearson v knize A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials z roku 1893 toto tvrzení zpochybnil[6]. Pearson však neuvedl, kdo s tímto vztahem přišel před Schwedlerem. Stěpan Prokofjevič Timošenko, profesor inženýrské mechaniky na Stanfordově univerzitě [7], ve své knize History of Strength of Materials z roku 1953 tvrdí, že se nenašel dřívější zmínku o Schwedlerem odvozeném vztahu[8].

ReferenceEditovat

  1. a b SCHWEDLER, Johann Wilhelm. Theorie der Brückenbalkensysteme. Zeitschrift für Bauwesen. Červenec 1851, roč. 1, čís. 3-4, s. 114-123. Dostupné online. 
  2. a b MICHALEC, Jiří, a kol. Pružnost a pevnost I. 3. vyd. Praha: České vysoké učení technické v Praze, 2010. 308 s. ISBN 9788001042243. 
  3. FRYDRÝŠEK, Karel; TVRDÁ, Katarína; JANČO, Roland; ET AL. Handbook of Structures on Elastic Foundation. 1st. vyd. Ostrava, Czech Republic: VSB - Technical University of Ostrava, 2013. ISBN 978-80-248-3238-8. S. 1-1691. (anglicky) 
  4. JANÍČEK, Přemysl; ONDRÁČEK, Emanuel; VRBKA, Jan. Mechanika těles: Pružnost a pevnost I. 2. vyd. Brno: Vysoké učení technické v Brně, 1992. 287 s. Dostupné online. 
  5. LAISSLE, Friedrich; SCHÜBLER, Adolf. Der Bau der Brückenträger mit wissenschaftlicher Begründung der gegebenen Regeln und mit besonderer Rücksicht auf die neuesten Ausführungen. 1. vyd. Stuttgart: Verlag von Paul Neff, 1857. viii, 156 s. Dostupné online. Kapitola 1, s. 9. 
  6. TODHUNTER, Isaac; PEARSON, Karl. A history of the theory of elasticity and of the strength of materials from Galilei to the present time. Svazek 2. Cambridge: University Press, 1893. Dostupné online. S. 613, 676. 1. část. 
  7. GERE, James M.; HERRMANN, George; KAYS, William M.; LEE, Erastus H. Memorial Resolution: Stephen P. Timoshenko (1878 – 1972). Stanford: Stanford University Dostupné v archivu pořízeném dne 2016-03-04.  Archivováno 4. 3. 2016 na Wayback Machine
  8. TIMOSHENKO, Stephen P. History of Strength of Materials. New York: Dover Publications, 2003. x, 452 s. ISBN 9780486611877.