Numerická derivace

Numerická derivace je numerická metoda odhadu derivace funkce na základě hodnoty této funkce v konečně mnoha bodech. Numerickou derivaci obvykle používáme v situaci, kdy nejsme schopni určit derivaci funkce analyticky.

Základní principEditovat

Máme odhadnout derivaci funkce f(x) v bodě x, tj. hodnotu f'(x), na základě znalosti funkčních hodnot v konečně mnoha bodech.

Při odhadu derivace funkce f můžeme vyjít z definice:

 

kde h je z prstencového okolí nuly.

Zvolíme-li „malé“ h různé od nuly, dostaneme odhad

 .

Derivace znamená směrnici tečny ke grafu funkce v bodě, zde jí nahrazujeme sečnou vedenou body, které se od sebe „velmi málo liší“.

Řád metody a chyba metodyEditovat

Kvalitu tohoto odhadu můžeme posoudit pomocí Taylorova rozvoje funkce f v okolí nuly. První člen f'(x) je správný výsledek, ostatní členy znamenají Taylorův rozvoj chyby metody. Řád metody numerické derivace je exponent u prvního nenulového členu Taylorova rozvoje chyby. Samozřejmě platí, že čím větší je řád numerické derivace, tím „přesnější“ výsledek vypočteme.

Z praktického hlediska je problém přibližného výpočtu derivací funkce dané tabulkou delikátní a zaokrouhlovací chyby mohou být v některých případech zničující, zejména pokud se jedná o body získané empiricky (tj. sérii naměřených bodů). Proto je vhodné nejdříve data vhodně upravit (např. aproximací podle metody nejmenších čtverců).

Tři ekvidistantní bodyEditovat

V případě, že tabulkové body jsou ekvidistantní, můžeme vzorec pro numerickou derivaci získat derivováním interpolačních vzorců vyjádřených pomocí diferencí. Například tři body f(x-h), f(x) a f(x+h) lze proložit parabolou a odvodit následující aproximaci první derivace f'(x).

 

Pro stejné tři body lze také odvodit vzorec pro odhad druhé derivace  .

 

Odvození vzorce pro první derivaciEditovat

Předpokládejme trojici bodů x-h, x a x+h, které proložíme parabolou  . Pro zjednodušení zápisu zavedeme značení  ,  ,  .

Při proložení tří bodů parabolou musí platit následující vztahy.

 
 
 

Z rovnice pro   lze vyjádřit   a dosadit jej do rovnice pro   a získat tak  .

 
 
 

Do derivace paraboly v bodě   dosadíme za  , které v podstatě známe z  .

 
 

Dosadíme za  , převedeme na společný jmenovatel a získáme tak finální vzorec pro aproximaci první derivace.

 
 

Odvozený vzorec odpovídá „selské úvaze“, kdy směrnice tečny v bodě   je nahrazena směrnicí sečny mezi body   a  .

Odvození vzorce pro druhou derivaciEditovat

Při uvažovaném proložení tří bodů parabolou je možné odvodit i vzorec pro aproximaci druhé derivace  . Stačí pouze dvakrát derivovat rovnici paraboly a dosadit za   vypočtené v předchozí kapitole.

 
 
 
 

Ke stejnému vzorci se lze opět dostat „selským rozumem“. Stačí si uvědomit, že druhá derivace je vlastně pouze derivací první derivace a použít jednoduchý vztah pro aproximaci první derivace.

 .