Nepřímý důkaz
Nepřímý důkaz se v matematice používá k dokázání matematických vět tvaru implikace , tj. vět tvaru „Jestliže platí předpoklad P, pak platí také tvrzení T“. Spočívá v tom, že se z negace výroku odvodí negace výroku , tj. dokáže se tvrzení .
Zdůvodnění správnosti
editovatDokázáním implikace je již skutečně dokázáno i . Pokud totiž platí, musí platit i , jinak by totiž platilo a podle dokázané implikace , tedy by neplatilo .
Souvislost s důkazem sporem
editovatNepřímý důkaz je úzce spjatý s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz lze převést na důkaz sporem. Dokazujeme-li totiž implikaci nepřímo, tj. dokazujeme-li , lze před celý důkaz tohoto tvrzení přidat větu „Předpokládejme pro spor, že platí neplatí .“ a po dokázání zakončit důkaz konstatováním „…, což je spor s předpokladem.“ Tím je nepřímý důkaz převeden na důkaz sporem.
Příklady
editovatNepřímý důkaz tvrzení „Pro každá dvě celá čísla , , pokud , pak nebo “ lze provést následovně:
- Nechť platí negace závěru, tj. i jsou nenulové.
- Pak i jsou .
- Tedy .
- A proto .