Nepřímý důkaz

Možná hledáte: Nepřímý důkaz v logice.

Nepřímý důkaz se v matematice používá k dokázání matematických vět tvaru implikace , tj. vět tvaru „Jestliže platí předpoklad P, pak platí také tvrzení T“. Spočívá v tom, že se z negace výroku odvodí negace výroku , tj. dokáže se tvrzení .

Zdůvodnění správnostiEditovat

Dokázáním implikace   je již skutečně dokázáno i  . Pokud totiž   platí, musí platit i  , jinak by totiž platilo   a podle dokázané implikace  , tedy by neplatilo  .

Souvislost s důkazem sporemEditovat

Nepřímý důkaz je úzce spjatý s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz lze převést na důkaz sporem. Dokazujeme-li totiž implikaci   nepřímo, tj. dokazujeme-li  , lze před celý důkaz tohoto tvrzení přidat větu „Předpokládejme pro spor, že platí   neplatí  .“ a po dokázání   zakončit důkaz konstatováním „…, což je spor s předpokladem.“ Tím je nepřímý důkaz převeden na důkaz sporem.

PříkladyEditovat

Nepřímý důkaz tvrzení „Pro každá dvě celá čísla  ,  , pokud  , pak   nebo  “ lze provést následovně:

  • Nechť platí negace závěru, tj.   i   jsou nenulové.
  • Pak   i   jsou  .
  • Tedy  .
  • A proto  .

Související článkyEditovat