Přímý důkaz

Tento článek je o přímém důkazu v matematice. O přímém důkazu v právu pojednává článek Důkaz (právo).

Přímý důkaz se v matematice používá k dokázání výroku, který má tvar implikace, kde je výchozí předpoklad a je výrok, který má být dokázán resp. odvozen (zápis ; věta ve tvaru „Jestliže platí předpoklad , pak platí také tvrzení “). Při dokazování pomocí přímého důkazu, je nutné si uvědomit, že pravdivost implikace lze dokázat bez znalosti pravdivosti jednotlivých výroků, které spojuje (na základě pravdivostní tabulky implikace). Důkaz vychází z předpokladu, na jehož základě jsou odvozována dílčí tvrzení tak dlouho, až se dospěje k dokazovanému tvrzení. Všechny kroky implikací jsou vyhodnoceny jako pravdivé, a tedy i odvozovaná tvrzení jsou pravdivá.

Zápis schematicky: [1]

Přímý důkaz jednoduchého výrokuEditovat

Příklad1:   (dokažte: jestliže platí, že a je větší než 1 pak platí také, že a na druhou je větší než 1)

Postup po krocích:

  • Protože  , jistě platí také   a též .
  • Protože   není rovno nule a je kladné, proměnnou lze vynásobit celou nerovnici. (Pokud   nelze násobit, pokud   při násobení by se obrátila nerovnost). Po vynásobení proměnnou   :  .
  • Je zřejmé , že   a zároveň platí  . Složením výrazů vznikne:  
  • Odstraněním prostředního výrazu vznikne výraz:  . To lze zapsat, protože   je větší než jedna a   je větší než  . Pokud je   větší než  , je zároveň větší než jedna, pak je jistě   větší než jedna.

Symbolicky lze zapsat:  

Přímý důkaz implikaceEditovat

Implikaci lze dokázat podobně jako jednoduchý výrok. Místo úvodního pravdivého tvrzené (výroku) se vezme „levá strana“ implikace. Pro dokázání implikace   , se vyjde z výroku    a vytvoří se řetězec pravdivých implikací:  .

Příklad2: Dokažte, že pro všechna reálná čísla platí nerovnice

 

Ekvivalentní úpravy - umocnění obou stran nerovnice:

 

umocnění pravé strany nerovnice, odstranění zlomku a zjednodušení:

 
 
 
 


Protože všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, vyplývá z platného tvrzení   platnost všech předchozích úprav. Proto musí být nutně platné i původní tvrzení  

Z úprav také plyne, že ve všech případech také nastane rovnost, a to pro hodnotu, kdy  

ReferenceEditovat

  1. Matematická logika. www2.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2021-04-12]. Dostupné online. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat

Řešené příklady (SŠ)