Hertzův tlak (neboli styčný tlak ev. kontaktní pnutí ) je tlak , který vzniká v místě vzájemného silového působení dvou těles s definovaným zakřivením povrchu . Svůj název nese po německém fyzikovi Heinrichu Hertzovi , který řešení této úlohy (formulované jako tzv. Hertzův model ) publikoval v roce 1882.
Schema Hertzova modelu styčného tlaku
Hertzův model je založen na těchto předpokladech:
Rozměr stykové plošky je podstatně menší než poloměry křivosti dotýkajících se těles
Všechna vzniklá napětí jsou menší, než meze pružnosti těles
Na stykové ploše je nulové tření i adheze
V obecném zadání figurují parametry dotýkajících se těles (těleso 1 a těleso 2 ):
hlavní křivosti – menší
k
a
{\displaystyle k_{a}}
k
b
{\displaystyle k_{b}}
k
=
1
r
{\displaystyle k={\frac {1}{r}}}
−
k
{\displaystyle -k}
úhel natočení –
ϕ
{\displaystyle \phi }
k
1
a
{\displaystyle k_{1a}}
k
2
a
{\displaystyle k_{2a}}
k
a
=
k
b
=
k
{\displaystyle k_{a}=k_{b}=k}
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
moduly pružnosti materiálů těles –
E
1
{\displaystyle E_{1}}
E
2
{\displaystyle E_{2}}
Poissonova čísla materiálů těles –
ν
1
{\displaystyle \nu _{1}}
ν
2
{\displaystyle \nu _{2}}
Odvození velikosti tlaku ve styčné ploše vychází z deformačních podmínek tuhých těles, kdy se nejprve stanoví velikost a tvar stykové plochy, jimž je obecně elipsa . Průběh tlaku na stykové ploše je parabolický (pokud nepřekročí mez pružnosti jednoho z materiálů), což vychází z průběhu deformace radiusu povrchu. Maximální tlak vyvozený silou
F
{\displaystyle F}
[1]
p
m
a
x
=
1
,
5
⋅
F
π
a
b
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi ab}}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
a
=
α
⋅
F
m
n
3
{\displaystyle a=\alpha \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}}
b
=
β
⋅
F
m
n
3
{\displaystyle b=\beta \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}}
V těchto formulích je hodnota činitelů
m
=
4
k
1
a
+
k
1
b
+
k
2
a
+
k
2
b
{\displaystyle m={\frac {4}{k_{1a}+k_{1b}+k_{2a}+k_{2b}}}}
n
=
4
3
⋅
E
(
1
−
ν
2
)
{\displaystyle n={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {E}{(1-\nu ^{2})}}}
E
1
=
E
2
=
E
{\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}
ν
1
=
ν
2
=
ν
{\displaystyle \nu _{1}=\nu _{2}=\nu }
Konstanty
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
θ
{\displaystyle \theta }
θ
=
arccos
(
m
4
⋅
(
k
1
a
−
k
1
b
)
2
+
(
k
2
a
−
k
2
b
)
2
+
2
⋅
(
k
1
a
−
k
1
b
)
⋅
(
k
2
a
−
k
2
b
)
⋅
cos
2
ϕ
)
{\displaystyle \theta =\operatorname {arccos} \left({\frac {m}{4}}\cdot {\sqrt {(k_{1a}-k_{1b})^{2}+(k_{2a}-k_{2b})^{2}+2\cdot (k_{1a}-k_{1b})\cdot (k_{2a}-k_{2b})\cdot \cos {2\phi }}}\right)}
Konstanty pro výpočet poloos dotykové elipsy[1]
θ
{\displaystyle \theta }
20°
30°
35°
40°
45°
50°
55°
60°
65°
70°
75°
80°
85°
90°
α
{\displaystyle \alpha }
3,778
2,731
2,397
2,136
1,926
1,754
1,611
1,486
1,378
1,284
1,202
1,128
1,061
1,00
β
{\displaystyle \beta }
0,408
0,493
0,530
0,567
0,604
0,641
0,678
0,717
0,759
0,802
0,846
0,893
0,944
1,00
Případy se zcela obecným zadáním jsou v praxi velice ojedinělé a přibližuje se k nim například odvalování kuličky v rádiusové drážce valivého ložiska .
V typických případech figurují obvykle koule , válec a rovina .
ν
1
=
ν
2
=
0
,
3
{\displaystyle \nu _{1}=\nu _{2}=0,3}
V tomto případě je styková plocha kruhová (
r
1
a
=
r
1
b
=
d
1
2
{\displaystyle r_{1a}=r_{1b}={\frac {d_{1}}{2}}}
r
2
a
=
r
2
b
=
d
2
2
{\displaystyle r_{2a}=r_{2b}={\frac {d_{2}}{2}}}
a
=
0
,
7
⋅
F
⋅
1
E
1
+
1
E
2
1
d
1
+
1
d
2
3
{\displaystyle a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}}
Maximální tlak pak je:
p
m
a
x
=
1
,
5
⋅
F
π
a
2
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi a^{2}}}}
δ
=
0
,
97
⋅
F
2
⋅
(
1
E
1
+
1
E
2
)
2
⋅
(
1
d
1
+
1
d
2
)
3
{\displaystyle \delta =0,97\cdot {\sqrt[{3}]{F^{2}\cdot \left({\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}}}
Rovina je v podstatě koule o nekonečném poloměru, tudíž
1
d
2
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{d_{2}}}=0}
a
=
0
,
7
⋅
F
⋅
1
E
1
+
1
E
2
1
d
1
3
{\displaystyle a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}}
Maximální tlak pak je:
p
m
a
x
=
1
,
5
⋅
F
π
a
2
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=1,5\cdot {\frac {F}{\pi a^{2}}}}
V případě shodných materiálů koule i podložky (
E
1
=
E
2
=
E
{\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}
a
=
0
,
88
⋅
F
d
E
3
{\displaystyle a=0,88\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fd}{E}}}}
p
m
a
x
=
0
,
62
⋅
F
E
2
d
2
3
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=0,62\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {FE^{2}}{d^{2}}}}}
δ
=
1
,
54
⋅
F
2
E
2
d
3
{\displaystyle \delta =1,54\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {F^{2}}{E^{2}d}}}}
Pro kalenou ocelovou kouli na kalené ocelové rovině lze použít pro určení dovolené zátěže při maximálním dovoleném tlaku
p
m
a
x
=
3700
M
P
a
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=3700MPa}
F
d
o
v
=
500
⋅
d
2
{\displaystyle F_{dov}=500\cdot d^{2}}
F v [N] a d v [cm] .[1]
rovnoběžné válce
editovat
Styková plocha má tvar obdélníka o šířce b , takže
b
=
1
,
52
⋅
q
⋅
1
E
1
+
1
E
2
1
d
1
+
1
d
2
{\displaystyle b=1,52\cdot {\sqrt {q\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}}
q
=
F
l
{\displaystyle q={\frac {F}{l}}}
Maximální tlak pak je:
p
m
a
x
=
4
q
π
b
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }={\frac {4q}{\pi b}}}
V tomto případě platí
b
=
1
,
52
⋅
q
⋅
1
E
1
+
1
E
2
1
d
1
{\displaystyle b=1,52\cdot {\sqrt {q\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}}
Maximální tlak pak je:
p
m
a
x
=
4
q
π
b
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }={\frac {4q}{\pi b}}}
V případě shodných materiálů válce i podložky (
E
1
=
E
2
=
E
{\displaystyle E_{1}=E_{2}=E}
b
=
2
,
15
⋅
q
d
E
{\displaystyle b=2,15\cdot {\sqrt {\frac {qd}{E}}}}
p
m
a
x
=
0
,
591
⋅
q
E
d
{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=0,591\cdot {\sqrt {\frac {qE}{d}}}}
δ
=
0
,
58
⋅
q
E
⋅
(
1
3
+
ln
2
d
b
)
{\displaystyle \delta =0,58\cdot {\frac {q}{E}}\cdot \left({\frac {1}{3}}+\ln {\frac {2d}{b}}\right)}
Při předběžném návrhu mostních ložisek lze použít zjednodušený vzoreček
q
=
500
⋅
d
{\displaystyle q=500\cdot d}
q v [N/cm] a d v [cm].[1]
V literatuře se vyskytují i poněkud odlišné vzorce. Je to jednak použitím jiné úpravy konstant a jednak použitím
1
E
r
e
d
=
1
−
ν
1
2
E
1
+
1
−
ν
2
2
E
2
{\displaystyle {\frac {1}{E_{red}}}={\frac {1-{\nu }_{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-{\nu }_{2}^{2}}{E_{2}}}}
1
r
e
=
1
r
1
+
1
r
2
{\displaystyle {\frac {1}{r_{e}}}={\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}}
Jiné modely kontaktního pnutí
editovat
Zohledňují vliv adheze:
Bradleyův model
Model pružného kontaktu Johnson-Kendall-Roberts (JKR)
Model pružného kontaktu Derjaguin-Muller-Toporov (DMT)
Taborův parametr – spojuje modely JKR a DMT
Model pružného kontaktu Maugis-Dugdale
Model Carpick-Ogletree-Salmeron (COS) – dle odstavce „Adhesive contact between elastic bodies“ v článku „Contact mechanics“ na anglické Wikipedii
↑ a b c d HÖSCHL, Cyril. PRUŽNOST A PEVNOST VE STROJNICTVÍ . Praha: STNL, 1971. 376 s. S. 267. 
![{\displaystyle a=\alpha \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62eb9a203b4e660430b73cc09602d20d4d29bb5f)
![{\displaystyle b=\beta \cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fm}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97583998ed1a08ab4d2fb78aab06159cda3410f4)
![{\displaystyle a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{{\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07caf021b33d68895dc0b0ac90a3177354dae3e2)
![{\displaystyle \delta =0,97\cdot {\sqrt[{3}]{F^{2}\cdot \left({\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03caed88577898664fd93b7a39262be80aa6084)
![{\displaystyle a=0,7\cdot {\sqrt[{3}]{F\cdot {\frac {{\frac {1}{E_{1}}}+{\frac {1}{E_{2}}}}{\frac {1}{d_{1}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74103b946ca4e08bf4b28c4dab4f8b407051bd02)
![{\displaystyle a=0,88\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {Fd}{E}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe61ddf533ffb70c08a09262348e7f0fab1f2237)
![{\displaystyle p_{\mathrm {max} }=0,62\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {FE^{2}}{d^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe0d5973e9879520a8aaeaa7d6fc7202d7dd979)
![{\displaystyle \delta =1,54\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {F^{2}}{E^{2}d}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b370300c76e159400c2e54909e09ac8a43d2d3e2)
