De Rhamův diferenciál

DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

Definice editovat

Nechť   je diferencovatelná varieta dimenze   a   je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na  . Pak deRhamův diferenciál   je systém zobrazení   definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť   a   jsou nějaké souřadnice z atlasu  . Pak pro každý multiindex   existují hladké funkce  , že   na U, kde   a   a   DeRhamův diferenciál   formy   je dán předpisem   kde   je deRhamův diferenciál funkce (0-formy)  . Tento je definován přepisem  .

Vlastnosti editovat

  nebo obšírněji   (diferenciál).

  (linearita nad  )

  (Leibnizovo pravidlo)

Poznámka editovat

Diferenciální formu  nazveme uzavřenou, pokud  . Diferenciální formu  nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma  , že  .

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhameova komplexu)   se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy. Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

Literatura editovat

[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish.

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.