De Moivreova–Laplaceova věta

De Moivreova–Laplaceova věta je speciální případ centrální limitní věty v teorii pravděpodobnosti. Říká, že za určitých podmínek lze binomické rozdělení aproximovat pomocí normálního rozdělení. Konkrétně distribuce počtu úspěchů v řadě nezávislých Bernoulliho pokusů s pravděpodobností úspěchu p (tedy binomické rozdělení s parametry n a p) konverguje k normálnímu rozdělení s očekávanou hodnotou np a rozptylem np(1-p), pokud počet pokusů n roste do nekonečna a p není přesně rovno 0 ani 1.

Historie

Věta byla poprvé publikována Abrahamem de Moivrem v druhém vydání jeho knihy Nauka o šancích v roce 1738. De Moivre studoval distribucí výsledků při velkém počtu hodů mincí.

Formulace věty

Pokud počet pokusů n roste do nekonečna, lze pro hodnoty k v okolí np aproximovat:

${n \choose k}\,p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}\,e^{-{\frac {(k-np)^{2}}{2npq}}},\qquad p+q=1,\ p,q>0$

kde platí p + q = 1 a p, q > 0.

Tato aproximace znamená, že pro velká n se binomické rozdělení s parametry n a p blíží normálnímu rozdělení s očekávanou hodnotou n p a rozptylem n p q.

Důkaz

Jeden možný důkaz de Moivreovy-Laplaceovy věty vychází z aplikace Stirlingova vzorce pro aproximaci faktoriálu u velkých čísel:

$n!\simeq n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\qquad {\text{as }}n\to \infty .$

Pomocí tohoto vzorce a logaritmických transformací můžeme aproximovat pravděpodobnostní hmotnostní funkci binomického rozdělení a ukázat, že se blíží hustotě normálního rozdělení.

Aplikace

De Moivreova–Laplaceova věta je významná v statistice a pravděpodobnosti, protože umožňuje použít normální rozdělení jako aproximaci binomického rozdělení při velkých hodnotách n. To je užitečné při výpočtech, kdy je přesný výpočet binomických koeficientů nepraktický.

Literatura

• FELLER, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. [s.l.]: Wiley, 1968. ISBN 0-471-25708-7. Kapitola Section VII.3. 

• PAPOULIS, Athanasios, S. Unnikrishna Pillai. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. 4. vyd. [s.l.]: McGraw-Hill, 2002. ISBN 0-07-122661-3. 

Externí odkazy

• De Moivreova–Laplaceova věta na MathWorld