Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar (vydělením vedoucím koeficientem)

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)$

Substitucí (posunutím proměnné) $x=t-a/3$ odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

$t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)$

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560–1621) substitucí $t=y-{p \over 3y}$ a vynásobením $y^{3}$, po snadných úpravách dostaneme $y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0$, kterou jednoduše vyřešíme převedením na kvadratickou rovnici substitucí $z=y^{3}$.
      Dále popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích a je v podstatě stejná.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

$t=u+v$

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$ (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

$3uv+p=0$.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

$-u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.$

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u³ a dostaneme

$u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.$

Toto je kvadratická rovnice pro u³. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

$u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\quad (4)$

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.$

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině ($\pm$), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená ${\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě −p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

$v=-{\sqrt[{3}]{q}}$.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak

$u={\sqrt {p/3}}$ a

$v=-{\sqrt {p/3}}$, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,

$t=ju-p/3ju={\sqrt {-p}}$ a

$t=u/j-jp/3u=-{\sqrt {-p}}$, kde

$j={\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

$x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\$

řešení pro neznámou x dostaneme jako

$x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}$

kde

$p=b-{\frac {a^{2}}{3}}$

$q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}$

$u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.$

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že $u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ nebo ${\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ .

Ale protože u a v musí splňovat $-u^{3}-v^{3}=q$ a $-uv={\frac {p}{3}}$ , můžeme dokázat, že pokud

$u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ , pak $v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

$u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~a~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

Nezapomeňte, že díky $~t=u+v~$ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud $-uv={\frac {p}{3}}$ , takže musí platit –

$t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.$

a x dostaneme jako $x=t-{\frac {a}{3}}$

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

$D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$.

Potom platí:

1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
3. Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic equation na anglické Wikipedii.