Wikipedista:White Space/Produkt

Produkt (součin) je v univerzální algebře jeden ze základních operací tvorby nového objektu z existujících objektů. Produkt v univerzální algebře je zobecnění produktů u grup, okruhů, těles, atd.

Produkt hraje důležitou roli při definice variet, která je definována jako třída algeber uzavřená na operace produktu, podalgebry a obraz homomorfního zobrazení.

Definice

Mějme algebry A₁ = (A₁, F₁) a A₂ = (A₂, F₂) stejného typu Δ. Produkt A₁ × A₂ je algebra s univerzem A₁×A₂ a množinou operací F typu Δ definovanou následujícím způsobem. Pro každou f ∈ F, Δ(f)-arní, a pro každé (x_i, y_i) ∈ A₁×A₂, kde i ∈ [1..n],

f((x₁,y₁),...,(x_n,y_n)) = (f₁(x₁,...,x_n),f₂(y₁,...,y_n)).

Výše zmíněná konstrukce lze zobecnit pro systém algeber (A_i)_i∈I, kde I je libovolná indexová množina. Výsledný produkt se značí ∏_i∈IA_i.

Vlastnosti

Algebra ∏_i∈IA_i zachová rovnice společné pro algebry (A_i)_i∈I.

Mějme algebry A₁ a A₂ s příslušnými projekcemi π₁ a π₂ a algebru B s homomorfismy h₁:B → A₁ a h₂:B → A₂, pak existuje unikátní homomorfismus h tak, že π₁∘h=h₁ a π₂∘h=h₂. Platí i zobecněná věta pro ∏_i∈IA_i.

Přímá dekompozice

Řekneme, že algebra A má přímou dekompozici, pokud existují algebry A₁ a A₂ stejného typu tak, že A ≅ A₁×A₂.

Kongruence α,β ∈ Con(A) se nazývají komplementární faktorové kongruence, pokud platí α∩β = 0_A a α∘β = 1_A, kde 0_A je nejmenší kongruence na algebře A a 1_A je největší kongruence na algebře A.

Platí následující vztah mezi přímou dekompozicí a komplementárními faktorovými kongruencemi.:

• Mějme algebru A, její dekompozici A₁×A₂ a příslušné projekce π₁ a π₂. Pak platí, že ker(π₁) a ker(π₂), kde ker(f) = {(x,y) : f(x) = f(y)}tvoří komplementární faktorové kongruence.

• Mějme komplementární faktorové kongruence α,β ∈ Con(A). Pak A ≅ A/α×A/β.

Řekneme, že netriviální algebra nemá přímou dekompozici, pokud neexistuje přímá dekompozice složená z netriviálních algeber. Pro konečné algebry platí, že existuje přímá dekompozice složená z algeber, jež nemají přímou dekompozici. Podobná věta pro nekonečné algebry však neplatí.

Subdirektní dekompozice

Míti přímou dekompozici je pro algebru silná vlastnost. Z toho však plyne, že ve většině případů daná vlastnost není k dispozici. Proto se pro analýzu algeber používá odlehčená vlastnost, tzv. subdirektní produkt.

Algebra A je subdirektní produkt algeber (A_i)_{i ∈ I}, pokud A je podalgebrou algebry ∏_i∈IA_i a pro všechny i ∈ I je projekce π_i:A → A_i surjektivní.

Vnoření j:A → ∏A_i se nazývá subdirektní, pokud j[A] je subdirektní produkt algeber (A_i)_i∈I. j se též nazývá subdirektní reprezentace.

Platí následující vztah mezi subdirektním vnořením a kongruencemi:

• Mějme algebru A a kongruence θ_i ∈ Con(A) pro všechna i∈I. Pokud ∩_i∈Iθ_i = 0_A, pak přirozené zobrazení A → ∏_i∈IA/θ_i je subdirektní vnoření.

• Pokud g:A → ∏A_i je subdirektní vnoření, pak pro θ_i = ker(π_i ∘ g) platí, že ∩_i∈Iθ_i = 0_A a A/θ_i ≅ B.

Řekneme, že algebra A je subdirektně ireducibilní, pokud pro každé subdirektní vnoření h:A → ∏_i∈IA_i existuje j ∈ I tak, že π_i ∘ h: A → A_j je izomorfismus. Pro subdiretkní ireducibilitu platí následující ekvivalence.

• Algebra A je subdiretktně ireducibilní právě tehdy, když 0_A je meet-ireducibilní v Con(A).

Pro subdiretkní ireducibilitu platí následující věta.

Věta o subdiretkní reprezentaci (Birkhoff, 1944): Každá netriviální algebra je izomorfní subdirektnímu produktu subdirektně ireducibilních algeber.

Literatura

• Bergman, C. H.: Universal algebra: fundamentals and selected topics. Boca Raton: CRC Press, c2012. Pure and applied mathematics. A program of monographs, textbooks and lecture notes. ISBN 978-4398-5129-6.
• Burris, S. a Sankappanavar, H. P.: A course in universal algebra. New York: Springer, c1981. Graduate texts in mathematics. ISBN 0-387-90578-2.