Vereščaginovo pravidlo

Vereščaginovo pravidlo je způsob, kterým lze jednoduše vyčíslit hodnotu určitého integrálu součinu dvou funkcí. Pravidlo bylo popsáno ruským inženýrem Andrejem Konstantinovičem Vereščaginem v roce 1925.

Příklad Vereščaginova pravidla

Definice

Pravidlo říká, že pro získání numerické hodnoty určitého integrálu součinu dvou funkcí stačí vynásobit plochu opsanou určitým integrálem první funkce $f(x)$ a pořadnici těžiště obrazce funkce druhé ($g(x)$). Obě funkce musejí být hladce spojité a funkce $g(x)$ musí být navíc lineární. Definice je založena na Mohrově integrálu.

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=A_{f(a,b)}\cdot g_{t}$

Ve vzorci označuje $f(x)$ a $g(x)$ dvě násobené funkce, $A_{f(a,b)}$ je plocha určitého integrálu funkce $f(x)$ na intervalu $(a,b)$ a $g_{t}$ je pořadnice funkce v těžišti plochy určitého integrálu funkce $g(x)$ na stejném intervalu.

Aplikace

Nejčastější aplikací Vereščaginova pravidla je výpočet průběhu ohybového momentu na staticky neurčité konstrukci pomocí silové metody (Maxwell-Mohrovy metody). Pro tento výpočet je vzorec upraven následovně:

$\int _{0}^{l}M{\overline {M}}\,\mathrm {d} x=A_{M}\cdot {\overline {M_{t}}}$

$M$ označuje průběh momentu na základní staticky určité konstrukci, ${\overline {M}}$ je průběh virtuálního momentu (vždy lineární či konstantní) a $l$ je integrační délka (obvykle délka prutu).

Složitější obrazce lze skládat za použití principu superpozice.

Příklady aplikace

• 
  Pro integraci shodně orientovaných trojúhelníků platí:
  $\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{3}}$
• 
  Pro integraci opačně orientovaných trojúhelníků platí:
  $\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{6}}$
• 
  Pro integraci dvou lichoběžníků platí:$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}[a(2c+d)+b(2d+c)]$
• 
  Pro integraci obdélníku a trojúhelníku platí:$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {Lab}{2}}$
• 
  Pro integraci lichoběžníku a trojúhelníku platí:$\int _{0}^{L}m_{1}m_{2}dx={\frac {L}{6}}a(2c+d)$

Odkazy

Literatura

• Konvalinka, Petr. Analýza stavebních konstrukcí – příklady (online)
• KYTÝR, Jiří; FRANTÍK, Petr. Statika I. Brno: Vysoké učení technické v Brně, 2005. 50 s. Kapitola 3.4.2 Vereščaginovo pravidlo, s. 18–19. 

Externí odkazy

• Formulation of Diagram Combination Equations Based on Vereschagin’s Rule Archivováno 5. 6. 2019 na Wayback Machine.
• Mohr’s Method for Calculation of General Displacements Archivováno 28. 7. 2020 na Wayback Machine.

Portály: Matematika