Uzávěr (logika)

Uzávěr (operátor konsekvence) na množině S je v logice funkce $\operatorname {Cn} :P(S)\rightarrow P(S)$ splňující podmínky

$X\subseteq \operatorname {Cn} (X)$
$X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {Cn} (X)\subseteq \operatorname {Cn} (Y)$
$\operatorname {Cn} (X)=\operatorname {Cn(Cn} (X))$

Používá se v algebraické logice k formalizaci konceptu vyplývání, platí tedy

$\operatorname {Cn} (\Gamma )=\{\varphi |\Gamma \vdash \varphi \}{\text{, resp. }}\varphi \in \operatorname {Cn} (\Gamma )\equiv \Gamma \vdash \varphi$

Někdy je vyžadována ještě kompaktnost, tedy

$\operatorname {Cn} (X)=\bigcup \{\operatorname {Cn} (Y)|Y\in P_{\omega }(X)\}$

Množina všech tautologií je $\operatorname {Cn} (\varnothing )$ . T je sporná, pokud $\operatorname {Cn} (T)=S$ . Pevné body funkce Cn se nazývají teoriemi. Bezesporná teorie T je úplná, pokud $(\forall Q\subseteq S)T\subsetneq Q\Rightarrow \operatorname {Cn} (Q)=S$ .