Tupperův vzorec

Tupperův vzorec je nerovnost definovaná Jeffem Tupperem. Množina bodů, které splňují nerovnost, vykreslená v rovině (resp. v konkrétním intervalu roviny) tvoří text obsahující nerovnost samu.

VzorecEditovat

Vzorec byl poprvé publikován v příspěvku na konferenci SIGGRAPH (Special Interest Group on GRAPHics and Interactive Techniques) 2001, který se zabýval softwarem GrafEq pro vizualizaci matematických funkcí, nerovností, atp.

Tupperův vzorec je nerovnost:

 

kde   značí celou část čísla a mod značí zbytek po dělení.

Uvažujme interval roviny  , kde konstanta   je rovna pětisetčtyřiačtyřicetimístnému číslu:

48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619
34704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407
85691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219
16512843483329051311931999535024137587652392648746133949068701305622
95813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510
73004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518
43348576052669401612512669514215505395545191537854575257565907405401
57929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300 

Množina bodů splňující Tupperovu nerovnost je na následujícím obrázku znázorněna modrou barvou:

 

(Osy na obrázku jsou popsány hodnotami vycházejícími z původního Tupperova článku, kde je použita jiná konstanta  . Tato původní Tupperova konstanta vytvoří obrázek převrácený vodorovně i svisle.)

VysvětleníEditovat

Bližším ohledáním vzorce snadno zjistíme, že exponent   nabývá pouze celočíselných hodnot  . Každé z těchto hodnot přitom nabývá pouze v jediném podintervalu. Hodnoty   nabývá exponent v levém spodním rohu obrázku, hodnoty   v intervalu bezprostředně nad ním, a tak dále. Tedy, pixely v prvním sloupci obrázku odpovídají hodnotám exponentu  . Nejmenší hodnoty   exponent nabývá v pravém horním rohu obrázku.

Snadno ověříme, že číslo   je dělitelné číslem   beze zbytku, tedy

 

pro všechna  . Pravá strana nerovnosti tak v principu převádí číslo   do dvojkové soustavy, je tedy pro každou konkrétní dvojici   rovna buď   nebo  .

Je zřejmé, že libovolný černobílý obrázek šířky   a výšky   pixelů, jde stejným způsobem zapsat jako binární číslo (po sloupcích; levý spodní pixel bude stát na pozici jednotek ve dvojkovém zápisu). Po převodu do desítkové soustavy a vynásobení číslem   bude představovat konstantu  . Tupperův vzorec (s číslem   zaměněným za číslo   a pozměněnými intervaly pro   a  ) pak z konstanty   dekóduje původní obrázek.

Konkrétních příkladů jako je Tupperův vzorec tedy lze zkonstruovat libovolně mnoho.

Tupperův vzorec je často uváděn jako příklad autoreference, kterým ale v pravém slova smyslu není. Nejpodstatnější část vzorce zajišťující, že grafem nerovnosti je předpis nerovnosti samotné, je informace zakódovaná v konstantě  , která ovšem není předmětem autoreferenčního vztahu.

ReferenceEditovat

Externí odkazyEditovat