Steinitzova věta o výměně

Steinitzova věta o výměně je důležité tvrzení z oblasti lineární algebry pojmenované po německém matematikovi Ernstu Steinitzovi. Hraje významnou roli v důkazech mnoha dalších tvrzení, například, že všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost a prostor má tedy jednoznačně určenou dimenzi. Dalším příkladem může být důkaz věty, že pokud má prostor konečnou bázi, pak lze libovolnou lineárně nezávislou množinu doplnit na bázi.

Znění větyEditovat

Nechť   a   jsou dvě množiny vektorů z vektorového prostoru  . Nechť jsou dále vektory z množiny   lineárně nezávislé a každý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny  . Pak platí, že  . Pokud  , tak je lineární obal množiny   nutně roven lineárnímu obalu množiny  . Neboli  . (Výraz   značí lineární obal množiny   atd.). Dále, pokud platí ostrá nerovnost  , tak existují navzájem různé indexy   takové, že

 

Jinými slovy, mějme množinu   lineárně nezávislých vektorů   a dále množinu   vektorů  . Nechť lze navíc libovolný vektor z množiny   vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny  . Pak platí, že vektorů v množině   nemůže být víc než vektorů v množině  . Pokud jich je stejně, tak se lineární obaly množin   a   rovnají. Pokud je vektorů v množině   více než vektorů v  , tak lze ke generátorům lineárního obalu množiny   přidat vhodných   dodatečných vektorů z množiny   tak, že tyto vektory dohromady generují lineární obal množiny  .

Protože se v daném vektorovém prostoru   můžeme omezit na jeho podprostor  , který je současně vektorový prostor, lze Steinitzovu větu vyjádřit v kratší podobě. Vezměme rovnou  . Pak:

Nechť   je konečněrozměrný vektorový prostor dimenze   a   jeho podmnožina tvořená   lineárně nezávislými vektory. Pak   a prostor   je generován vektory   pro jisté, navzájem různé, indexy  .

DůkazEditovat

Proveďme důkaz neúplnou matematickou indukcí. Předpokládejme nejprve  , poté ukážeme, že předpoklad   vede ke sporu. Pro počáteční krok matematické indukce uvažujme množinu   vzniklou tak, že k vektorům z množiny   přidáme jeden ("první") vektor z množiny  . O vektorech z množiny   ovšem víme, že je lze vyjádřit pomocí vektorů z   a námi sestrojená množina je tak lineárně závislá. Existuje v ní tedy vektor   pro jistý index  , který lze nakombinovat ze zbylých vektorů této množiny. Neboli

 

kde symbol   značí lineární obal. Ačkoliv nám lineární závislost množiny vektorů zajišťuje, že v ní existuje vektor, který lze nakombinovat pomocí ostatních, mohli jsme s klidem vzít za tento vektor jeden z vektorů množiny   a ne opět vektor  . To, že je množina   lineárně závislá totiž znamená, že existuje netriviální lineární kombinace   rovná nulovému vektoru. Kdyby   a všechny ostatní koeficienty byly nulové, byl by to spor s lineární nezávislostí množiny   Existuje tedy nenulový koeficient  , kde   je jistý index vektoru z  . Tímto koeficientem můžeme dělit a vyjádřit dané   pomocí zbylých vektorů způsobem

 

Protože vektor   lze nakombinovat z vektorů z  , je  . Obdobně pro   a máme tedy

 

viz (druhé) tvrzení v oddíle Ostatní v článku Lineární obal. Přikročme nyní k důkazu indukčního kroku. Předpokládejme, že pro všechna přirozená  , kde  , existují navzájem různé indexy   tak, že

 

Neboť z předpokladů věty platí, že  , je množina   lineárně závislá, přičemž množina   je lineárně nezávislá. V první jmenované množině tedy existuje vektor   pro jisté   (kde  ), který lze vyjádřit pomocí zbylých vektorů. Postupem obdobným tomu pro   dospíváme k rovnosti

 

Přeznačíme-li indexy u vektorů v předchozím vzorci, dostáváme vztah

 

který dokončuje indukční krok. Pro případ   máme tedy větu dokázánu. Předpokládejme nyní, že  . Kdybychom postupovali postupem stejným jako výše, tak bychom se dostali postupným přidáváním vektorů k původnímu lineárnímu obalu do stavu, kdy chceme přidat vektor  , nemáme už ale žádný zbylý vektor z  , za který bychom ho mohli vyměnit. Neboli bychom měli

 

Z předpokladů věty ale   a podle rovnosti výše můžeme tento vektor vyjádřit pomocí zbylých vektorů z množiny  . To je ale spor s lineární nezávislostí množiny  , což dokončuje důkaz věty.

Aplikace větyEditovat

Jako příklad užití Steinitzovy věty si dokažme následující tvrzení:

Každou lineárně nezávislou podmnožinu konečně rozměrného vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru.

Mějme tedy vektorový prostor   konečné (nenulové) dimenze  . Existuje v něm tedy  -členná báze, označme si ji  . Dále mějme podmnožinu prostoru  , kterou si označíme  , tvořenou   lineárně nezávislými vektory. Steinitzova věta nám říká, že  , a navíc, že existují navzájem různé indexy   tak, že

 

Abychom dokončili důkaz, musíme ještě ukázat, že soubor vektorů   je lineárně nezávislý. Kdyby ale byl lineárně závislý, tak z něj můžeme vybrat lineárně nezávislou podmnožinu generující prostor  . Tato množina by měla nejvýše   prvků, což je ve sporu s tím, že dimenze prostoru   je  .

LiteraturaEditovat

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ČVUT

Související článkyEditovat