Steinerův systém

Steinerův systém , , podle matematika Jakoba Steinera, je konečná kombinatorická struktura - systém prvkových podmnožin základní prvkové množiny (tzv. bloků) s vlastností, že každých bodů leží společně v právě jednom bloku. Steinerovy systémy zobecňují konečné geometrie, které odpovídají : v geometrii každé dva body určují právě jednu přímku.

Existence Steinerových systémůEditovat

Základním matematickým problémem Steinerových systémů je, zda pro daná   vůbec   existuje. Tento problém je až na výjimky otevřený; výjimky určuje několik známých konstrukcí   a naopak několik podmínek, které pro jiná   existenci vylučují.

Pro   známe (nebo dovedeme prokázat existenci) jen konečně mnoho Steinerových systémů; pro   žádný.

Nutná podmínka dělitelnostiEditovat

Utržením jednoho bodu ze Steinerova systému   získáme po odstranění bloků, v nichž tento bod neležel, tzv. derivovaný systém   Derivovaný systém také musí splňovat axiomy Steinerova systému, jeho derivovaný systém také atd. Z toho plyne soustava nutných podmínek pro existenci  :

  musí být celočíselné pro každé  [1]

Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá  tice bodů.

Splnění této sady podmínek však stále není postačující pro existenci  ; již vyvráceny byly například existence  ,   či  

Dosud známé nekonečné třídy Steinerových systémů[2]Editovat

  •   pro   mocnina prvočísla a   (afinní geometrie)
  •   pro   mocnina prvočísla a   (sférické geometrie)
  •   pro   mocnina prvočísla a   (projektivní geometrie)
  •   pro   mocnina prvočísla
  •   pro   (Dennistonův design)

Steinerovy systémy v teorii grupEditovat

Speciální Steinerovy systémy jsou jednou z ekvivalentních možností jak definovat vysoce tranzitivní Mathieu grupy:

  •  transitivní Mathieu grupa   je grupou automorfismů Steinerova systému  
  •  transitivní Mathieu grupa   je grupou automorfismů Steinerova systému  
  •  transitivní Mathieu grupa   je grupou automorfismů Steinerova systému  
  •  transitivní Mathieu grupa   je grupou automorfismů Steinerova systému  
  •  transitivní Mathieu grupa   je grupou automorfismů Steinerova systému  

ReferenceEditovat

  1. BIGGS, Norman L.; WHITE, Arthur T. Permutation groups and combinatorial structures. [s.l.]: Cambridge University Press, 1979. 140 s. ISBN 978-0521222877. 
  2. COLBOURN, Charles J.; DINITZ, Jeffrey H. Handbook of combinatorial designs. II.. vyd. [s.l.]: CRC Press, 2006. 1016 s. ISBN 9780429138485. S. 102–110.