Kurt Gödel: Porovnání verzí

V intelektuálním prostředí postsecesní Vídně vytvořil své průlomové dílo – objevil a formuloval [[Gödelovy věty o neúplnosti|dva teorémy o neúplnosti]]: Z prvního plyne, že žádný formální systém nemůže být zároveň úplný a bezesporný a z druhého, že bezespornost formálního systému nelze uvnitř tohoto systému dokázat. Oba teorémy se opírají o důkaz existence nerozhodnutelné věty, která je prostředky systému formulovatelná, ale nedá se dokázat prostředky tohoto systému. Nepatří do množiny dokazatelných vět, jejichž pravdivost může být důkazem prokázána – je nedokazatelná. Protože ale sama o sobě tvrdí, že je nedokazatelná, tvrdí pravdu a je proto pravdivá. Je případem věty, která se dá prostředky systému formulovat, ale nikoli dokázat a v tomto smyslu je pak systém neúplný: Nedají se v něm dokázat všechny pravdivé věty, které se v něm dají formulovat. K důkazu vět Gödel rozvinul nebo zcela nově vyvinul několik matematických postupů či technik. Například tzv. [[Gödelovo číslování]], které je unikátním kódovacím systémem, který umožňuje jednoznačný převod mezi formulemi a čísly. Kódování spolu se zavedením [[rekurzívní funkce|rekurzívních funkcí]] „převádí logiku na aritmetiku“ a některé části Gödelova důkazu připomínají to, čemu dnes říkáme programovací jazyk počítačů (podobný jazyku [[Lisp]]). (Srovnatelný je zde „převod geometrie na aritmetiku“algebru“, který provedl v 17. století [[René Descartes]] a který je dnes znám jako [[analytická geometrie]]).