Dimenze vektorového prostoru: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m {{Commonscat}} |
Funkce návrhy odkazů: Přidány 2 odkazy. značky: revertováno editace z Vizuálního editoru Editační tipy Doporučeno: Přidaný odkaz |
||
Řádek 6:
* Pokud ne, tj. pokud každý soubor <math>\scriptstyle n+1</math> vektorů z <math>\scriptstyle V</math> je lineárně závislý, tak říkáme, že vektorový prostor <math>\scriptstyle V</math> má dimenzi rovnou <math>\scriptstyle n</math>. V takovém případě lze totiž každý vektor prostoru <math>\scriptstyle V</math> popsat pomocí <math>\scriptstyle n</math> čísel. Důvod je následující: s využitím vektorů <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> jsme schopni vyjádřit jakýkoliv vektor z prostoru <math>\scriptstyle V</math> jako jejich [[lineární kombinace|lineární kombinaci]]. Kdyby to nebyla pravda, tak by musel existovat vektor <math>\scriptstyle \vec{x}_0</math>, který jako lineární kombinaci vektorů <math>\scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> vyjádřit nelze. To by ale znamenalo, že jsou vektory <math>\scriptstyle \vec{x}_0, \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n</math> lineárně nezávislé, jak plyne z [[Lineární nezávislost#Alternativní definice|definice lineární nezávislosti]]. Obdrželi jsme tak <math>\scriptstyle (n+1)</math>-členný soubor vektorů z <math>\scriptstyle V</math>, který je lineárně nezávislý. To je ale ve sporu s tím, že právě uvažujeme prostor <math>\scriptstyle V</math> v němž více než <math>\scriptstyle n</math>-členné soubory lineárně nezávislých vektorů nejsou. Dokázali jsme tak, že každý vektor <math>\scriptstyle \vec{x}</math> ve vektorovém prostoru <math>\scriptstyle V</math> lze vyjádřit jako lineární kombinaci <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i</math>. K jednoznačnému určení vektoru <math>\scriptstyle \vec{x} \in V</math> nám tak stačí znát <math>\scriptstyle n</math> čísel <math>\scriptstyle \alpha_i</math>, kde <math>\scriptstyle i \in \{1, \ldots, n\}</math>.
* Pokud ano, tj. pokud jsme ve <math>\scriptstyle V</math> schopni nalézt <math>\scriptstyle n+1</math> lineárně nezávislých vektorů, tak se ptejme dále, zda ve <math>\scriptstyle V</math> existuje <math>\scriptstyle (n+2)</math>-členný lineárně nezávislý soubor vektorů. Pokud ne, tak řekneme, že prostor <math>\scriptstyle V</math> má dimenzi <math>\scriptstyle n+1</math>. Pokud ano, pokračujeme analogicky dále. Jestliže se po určité době na některém čísle <math>\scriptstyle m</math> zastavíme, tj. všechny <math>\scriptstyle (m+1)</math>-členné soubory vektorů ve <math>\scriptstyle V</math> jsou [[lineární závislost|lineárně závislé]], tak řekneme, že <math>\scriptstyle V</math> má dimenzi <math>\scriptstyle m</math>. Libovolný vektor z <math>\scriptstyle V</math> pak lze jednoznačně popsat pomocí <math>\scriptstyle m</math> čísel, viz tvrzení v předchozím odstavci. Pokud ale můžeme v tomto postupu hledání čím dál větších lineárně nezávislých souborů pokračovat do [[Nekonečno|nekonečna]], tj. pro rostoucí číslo <math>\scriptstyle m</math> najdeme vždy <math>\scriptstyle m</math> lineárně nezávislých vektorů z <math>\scriptstyle V</math>, tak řekneme, že <math>\scriptstyle V</math> má nekonečnou dimenzi.
Formalizací dosavadních úvah dospějeme k matematické definici dimenze vektorového prostoru.
Řádek 61:
kde <math>\scriptstyle \dim_K(V)</math> a <math>\scriptstyle \dim_F(V)</math> označuje po řadě dimenze množiny <math>\scriptstyle V</math> coby vektorového prostoru nad tělesem <math>\scriptstyle K</math> a nad tělesem <math>\scriptstyle F</math> a <math>\scriptstyle \dim_K(F)</math> označuje dimenzi tělesa <math>\scriptstyle F</math> coby vektorového prostoru nad tělesem <math>\scriptstyle K</math>.
Příkladem právě uvedené situace je případ reálného a komplexního [[Číselné těleso|číselného tělesa]]. Platí totiž, že libovolný [[komplexní vektorový prostor]] dimenze <math>\scriptstyle n</math> je současně [[reálný vektorový prostor|reálným vektorovým prostorem]] dimenze <math>\scriptstyle 2n</math>, jak se lze jednoduše přesvědčit dosazením odpovídajících dimenzí do vzorce výše. Viz též [[Dimenze vektorového prostoru#Příklad 2 – Různá tělesa|Příklad 2]] níže.
Zabývejme se nyní počtem všech možných vektorů daného vektorového prostoru <math>\scriptstyle V</math> definovaného nad tělesem <math>\scriptstyle F</math>, tj. jeho [[mohutnost]]í. Pro tuto lze odvodit následující vztahy:
| |||