Keplerovy zákony: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Řádek 34:
==== Plošná rychlost ====
Sledujeme-li pohyb tělesa s [[polohový vektor|polohovým vektorem]] <math>\mathbf{r}</math> v [[gravitační pole|gravitačním poli]], pak za [[čas]] <math>\mathrm{d}t</math> dojde ke změně průvodiče na <math>\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}</math>, kde elementární přírůstek <math>\mathrm{d}\mathbf{r}</math> spadá do směru dráhy. [[Obsah]] elementární plochy opsané tímto průvodičem lze vyjádřit ve tvaru
:<math>\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times\mathrm{d}\mathbf{r})</math>.
Pro '''plošnou rychlost''' pak s pomocí tohoto vztahu získáme výraz
:<math>\mathbf{w} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{S}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}) = \frac{1}{2}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})</math>.
[[Vektor]] plošné rychlosti <math>\mathbf{w}</math> je [[kolmost|kolmý]] k [[rovina|rovině]], v níž leží [[trajektorie]] pohybu. Tento Keplerův zákon říká, že pro plošnou rychlost platí
:<math>\mathbf{w}=\mbox{konst}</math>.
Ze znalosti vztahu pro [[moment hybnosti]] <math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>, kde <math>\mathbf{p}=m\mathbf{v}</math> je [[hybnost]] planety, lze psát
:<math>\mathbf{L}=2m\mathbf{w}</math>.
Je-li tedy [[konstanta|konstantní]] plošná rychlost, je konstantní také moment hybnosti. Obráceně lze říci, že ze [[zákon zachování momentu hybnosti|zákona zachování momentu hybnosti]] vyplývá konstantní plošná rychlost pohybu planety v [[radiální pole|radiálním]] gravitačním poli (a tedy také druhý Keplerův zákon).
| |||