Naivní teorie množin: Porovnání verzí

I přes použité slůvko ''naivní'', které má v případě matematické teorie trochu hanlivý nádech, je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo mnoha vynikajících výsledků v oblasti zkoumání vlastností nekonečných množin ([[Cantorova věta]], [[Kardinální aritmetika]], [[Transfinitní indukce]]) -– což byla ostatně hlavní Cantorova motivace pro její vytvoření.

Problémy nastávají teprve ve chvíli, kdy se '''naivní teorie množin''' pokouší pracovat s "příliš„příliš velkými"velkými“ množinami, jako je [[potenční množina|potence]] [[univerzální množina|univerzální množiny]] v případě [[Cantorův paradox|Cantorova paradoxu]] -– obdobné je to ostatně i v případě mnohem známějšího [[Russellův paradox|Russellova paradoxu]].

Na otázku, co je to množina, odpovídá '''naivní teorie množin''' v podstatě obdobně, jako paní učitelka v první třídě základní školy před tabulí plnou magnetických jablek a hrušek (kdo nezažil, snad mi promine tuto osobní vzpomínku):<br />

'''Množina je dobře definovaný soubor objektů.'''<br />

Jediným faktem, který hraje roli při práci s množinou v rámci teorie množin, je to, které objekty do ní '''náležejí''' -– relace náležení je obvykle značena <math> x \isin A \,\!</math> -– znamená "objekt„objekt x je prvkem (náleží do) množiny A"A“.

Pokud přijmeme jako jeden ze způsobů, jak dobře definovat množinu, možnost vyjmenovat všechny její prvky, pak můžeme jako <math>A = \{ 2,3,5,7 \} \,\!</math> označit čtyřprvkovou množinu, která obsahuje čísla 2, 3, 5 a 7 (tj. <math> 2 \isin A \,\! </math>, ale <math> 4 \notin A \,\!</math>).

Důležité je, že nemá smysl mluvit o tom, kolikrát nebo v jakém pořadí prvky do množiny patří -– každý do ní prostě buď patří, nebo nepatří a tečka. VrátímVrátíme-li se k <math> A = \{ 2,3,5,7 \} \,\!</math>, můžeme s klidným svědomím napsat:<br />

<math> A = \{ 3,5,7,2 \} = \{ 2,2,5,3,5,7,7,7,7 \} = \ldots \,\! </math> ,<br />

Pokud je <math> V(x) \,\! </math> jakýkoliv výrok s parametrem <math> x \,\! </math> (například „x je sudé číslo“, „x má slabý magnet“, „x je kamarád kamaráda bývalého poslance PČR za ČSSD“) mohulze pomocí něj rozdělit všechny myslitelné objekty na dvě části -– na množinu těch, které <math> V(x) \,\! </math> splňují, kterou označímoznačíme <math> S = \{ x : V(x) \} \,\!</math>, a na množinu těch, které jej nesplňují -– mluvíme o doplňku množiny <math> S \,\! </math>.