Bezčtvercové celé číslo: Porovnání verzí

'''Bezčtvercové celé číslo''' je takové číslo, které je [[celé číslo|celé]] a [[bezčtvercovost|bezčtvercové]], tedy celé číslo, které není dělitelné [[čtverec (číslo)|čtvercem]]. Například číslo 10 = 5 × 2 je bezčtvercové celé číslo, ale číslo 18 = 2 × 3² bezčtvercové není. Nejmenší bezčtvercová celá čísla jsou:

*Celé číslo ''<var>n''</var> je bezčtvercové právě tehdy, když se v &nbsp;jeho [[Prvočíselný rozklad|prvočíselném rozkladu]] vyskytuje každé [[prvočíslo]] nejvýše jednou. Jinými slovy, pokud pro každého dělitele ''<var>p''</var> čísla ''<var>n''</var> platí, že ''<var>p''</var> nedělí ''<var>n''</''var>/<var>p''</var>.

*Celé číslo ''<var>n''</var> je bezčtvercové právě tehdy, když pro každý rozklad <var>n</var>&nbsp;=a×b&nbsp;<var>a</var>&nbsp;×&nbsp;<var>b</var> platí, že čísla ''<var>a''</var> a ''<var>b''</var> jsou [[nesoudělnost|nesoudělná]].

*Kladné celé číslo ''<var>n''</var> je bezčtvercové právě tehdy, pokud μ(''<var>n''</var>) &nbsp;≠ &nbsp;0, kde μ značí [[Möbiova funkce|Möbiovu funkci]].

*Kladné celé číslo ''<var>n''</var> je bezčtvercové právě tehdy, pokud jsou všechny [[abelova grupa|komutativní grupy]] [[řád grupy|řádu]] ''<var>n''</var> [[izomorfismus grup|izomorfní]], což je právě tehdy, když jsou všechny [[cyklická grupa|cyklické]]. Tato definice vyplývá z klasifikace [[konečně generovaná komutativní grupa|konečně generovaných komutativních grup]].

*Kladné celé číslo ''<var>n''</var> je bezčtvercové právě tehdy, pokud je [[podílový okruh]] '''Z'''/''n'''''Z''' [[součin okruhů|součinem]] [[těleso (algebra)|těles]]. To vyplývá z obecné [[Čínská věta o zbytcích|Čínské věty o zbytcích]].

*Pro každé kladné celé číslo ''<var>n''</var> tvoří množina všech kladných dělitelů ''<var>n''</var> spolu s [[dělitelnost|dělitelností]] množinu [[částečně uspořádaná množina|částečně uspořádanou]]. Tato množina je vždy [[distributivní svaz|distributivním svazem]]. A je [[booleova algebra|Booleovou algebrou]] právě tehdy, pokud je ''<var>n''</var> bezčtvercové.