Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí

'''Axiomatická teorie množin''' je označení pro teorii, která formalizuje vlastnosti množin takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná tvrzení této teorie budu přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky ([[algebra]], [[diferenciální rovnice]], [[geometrie]], [[teorie pravděpodobnosti]] i všechny ostatní).{{ChybíDoplňte zdroj}}

Hlavní význam takových teorií je v tom, že staví na velmi solidní základ pojem "dokazatelné matematické tvrzení" a tedy poskytují užitečné vodítko při ověřování, zda nějaký matematický důkaz je korektní.{{ChybíDoplňte zdroj}}

Nejpoužívanější axiomatická teorie množin je jednak [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin]] (značení ZF) a dále ZF s přidaným [[Axiom výběru|axiomem výběru]] (ta se značí ZF+AC nebo ZFC). ZFC je všeobecně uznávána jako teorie, která přesně popisuje platné matematické pravdy, tj. matematická věta je pokládána za pravdivou, právě když je dokazatelná v ZFC (dokazatelnost ovšem nelze snadno ověřit, neboť v každém okamžiku existuje mnoho pravdivých hypotéz, které ještě nebyly dokázány nebo ani vysloveny).{{ChybíDoplňte zdroj}}

Aplikace [[Gödelovy věty o neúplnosti|Gödelových vět o neúplnosti]] na axiomatickou teorii množin přináší vhledy na podstatu a filosofii matematiky, neboť z ní vyplývá, že sebelepší axiomatika teorie množin bude vždy obsahovat nerozhodnutelná tvrzení (množinu všech matematických pravd nelze popsat žádnou soustavou axiomů) a že pokud teorie, kterou chceme používat k popisu všech matematických pravd, je bezesporná, nelze tuto bezespornost dokázat.{{ChybíDoplňte zdroj}}

'''1. Neumožňuje Russelův paradox''' (a další [[paradoxy naivní teorie množin]]) tím, že velké souhrny objektů (například "souhrn všech množin") v ní nejsou pokládány za množiny, nýbrž jsou nazývány [[Třída (matematika)|vlastními třídami]] a pracuje se s nimi jinak.{{ChybíDoplňte zdroj}}

[[Predikátová logika]] dává návod, jak [[Prohledávání do šířky|prohledáváním nekonečného stromu]] ověřit dokazatelnost tvrzení z dané množiny axiomů.{{ChybíDoplňte zdroj}} Existence soustavy axiomů, z nichž plyne každé matematické tvrzení, tedy umožňuje [[Algoritmus|algoritmicky]] rozhodnout o pravdivosti jakékoli matematické hypotézy (tento algoritmus se nezastaví, pokud je tato hypotéza nerozhodnutelná z axiómů ZFC). To je sice v praxi nepoužitelné, protože počet větví stromu je astronomicky velký, ale přesto je ZFC užitečným vodítkem při diskuzi, zda nějaký argument lze nazvat platným matematickým důkazem.

Při takovém přístupu by se množina predikátů a axiomů neustále rozrůstala, například po objevení [[Komplexní číslo|komplexních čísel]], [[Hyperkomplexní číslo|hyperkomplexních čísel]] apod. S&nbsp;každým rozšířením by se musely znovu dokazovat výsledky o&nbsp;teorii dokázané (například to, že nějaké tvrzení je v&nbsp;této teorii [[Nezávislé tvrzení|nezávislé]]).{{ChybíDoplňte zdroj}}<ref group="pozn">Stačí si uvědomit, že s&nbsp;každým přidaným (z&nbsp;ostatních axiomů neodvoditelným) axiomem se rozšiřuje množina dokazatelných tvrzení, a navíc se může stát, že naše teorie se stane spornou (tedy se dá dokázat nějaké tvrzení i&nbsp;jeho negace).</ref>