Verze z 2. 10. 2006, 19:38 editovat Chrupoš (diskuse \| příspěvky) 5 102 editací m →‎Co víme o kardinálních mocninách čísla 2: - oprava preklepu ve vzorci ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 7. 10. 2006, 03:42 editovat zrušit editaci Dinybot (diskuse \| příspěvky) 42 548 editací m robot: stylistické, typografické a kódové korekce podle specifikace Přejít na další porovnání →
Řádek 1: '''Kardinální aritmetika''' je součást [[teorie množin]], která definuje operace '''kardinálního součtu''', '''kardinálního součinu''' a '''kardinální mocniny''' jako rozšíření běžných aritmetických operací s [[Přirozené číslo\|přirozenými čísly]] na všechna [[kardinální číslo\|kardinální čísla]] a zabývá se jejich vlastnostmi především na [[Nekonečná množina\|nekonečných množinách]]. == Definice kardinálního součtu a součinu == Jsou-li <math> \lambda, \mu \,\! </math> dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:<br /> * <math> \lambda + \mu = \| (\{ 0 \} \times \lambda) \cup (\{ 1 \} \times \mu) \| \,\! </math> Řádek 9: '''Kardinálním součtem''' dvou kardinálů je [[mohutnost]] jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace [[kartézský součin\|kartézského součinu]] s jednoprvkovou množinou zajistím jejich [[Disjunktní množiny\|disjunktnost]]. '''Kardinálním součinem''' dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu. == Vlastnosti kardinálního součtu a součinu == === Vztah kardinálních a ordinálních operací === Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek [[Ordinální aritmetika]]). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ [[Dobře uspořádaná množina\|dobrého uspořádání]] výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou [[Ordinální číslo\|ordinálních čísel]] opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou [[Kardinální číslo\|kardinálních čísel]] opět kardinální číslo. Řádek 27: * <math> \omega . \omega = \omega \,\! </math> pro kardinální součin. === Trivialita kardinálního součtu a součinu === Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:<br /> * pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně použivaným operacím součtu a součinu Řádek 35: * <math> ( \forall \alpha, \beta \isin On)( \aleph_{\alpha} . \aleph_{\beta} = \aleph_{\alpha} + \aleph_{\beta} = max(\aleph_{\alpha}, \aleph_{\beta})) \,\! </math> == Definice kardinální mocniny == Jsou-li <math> \lambda, \mu \,\! </math> dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich '''kardinální mocninu''' <math> \lambda^{\mu} \,\! </math> jako mohutnost množiny všech [[zobrazení]] množiny <math> \mu \,\! </math> do množiny <math> \lambda \,\! </math>. == Základní vlastnosti kardinální mocniny == Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo [[ordinální mocnina]]: * <math> 0^0 = 1 \,\! </math> Řádek 58: což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny <math> \{ 0,1 \} \,\! </math> - a to je vlastně totéž, jako [[potenční množina]] <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> Dá se ukázat, že <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> má stejnou mohutnost jako množina <math> \mathbb{R} \,\! </math> všech [[Reálné číslo\|reálných čísel]], tj. <math> \| \mathbb{P}(\omega)\| = \| \mathbb{R} \| = 2^{\omega} \,\! </math> - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost [[kontinuum\|kontinua]]. == Co víme o kardinálních mocninách čísla 2 == Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí [[Kardinální číslo#funkce alef\|funkce alef]], kde <math> \omega = \aleph_0 </math> ) pro které <math> \alpha \,\! </math> platí<br /> <math> \aleph_{\alpha} = 2^{\aleph_0} </math> ? Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin ([[ZF]]) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává [[hypotéza kontinua]]: <math> 2^{\aleph_0} = \aleph_1 </math>, což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotézá se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich [[Nezávislost (matematika)\|nezávislá]]. Stejně tak je nezávislá i hypotéza <math> 2^{\aleph_0} = \aleph_2 </math> nebo <math> 2^{\aleph_0} = \aleph_{137} </math> . Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce <math> 2^{\aleph_{\alpha}} </math> jsou následující tři údaje: # <math> \alpha \leq \beta \implies 2^{\aleph_{\alpha}} \leq 2^{\aleph_{\beta}} </math> # <math> \aleph_{\alpha} < 2^{\aleph_{\alpha}} </math> # <math> \aleph_{\alpha} < cf(2^{\aleph_{\alpha}}) </math> , kde <math> cf(\lambda) \,\! </math> je [[kofinál]] kardinálu kde <math> \lambda \,\! </math> Řádek 73: [[Zobecněná hypotéza kontinua\|Zobecněním hypotézy kontinua]] získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:<br /> <math> 2^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\alpha + 1} </math> pro každý ordinál <math> \alpha \,\! </math> I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:<br /> Řádek 79: Například tedy můžeme klidně tvrdit, že * <math> 2^{\aleph_0} = \aleph_1 </math> * <math> 2^{\aleph_1} = \aleph_2 </math> * <math> 2^{\aleph_2} = \aleph_3 </math> * <math> 2^{\aleph_3} = \aleph_4 </math> ale * <math> 2^{\aleph_4} = \aleph_{100} </math> Takováto ~~"hypotéza"~~„hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že jí nelze vyvrátit. == Podívejte se také na == {{Portál matematika}} * [[Kardinální číslo]] Řádek 100: * [[Funkce gimel]] [[Kategorie: Teorie množin]] [[en:Cardinal arithmetic]]

Kardinální aritmetika: Porovnání verzí