Pseudoinverze matice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
drazinova, grupova, spektralni inverze |
|||
Řádek 93:
V obecném případe je zřejmě (1,2,3,4)-inverze jediná zobecněná inverze z výše uvedených, která je dána jednoznačně.
== Drazinova
Je-li navíc matice <math>\mathbf{A}\in\
: (1k) <math>\mathbf{A}^k\mathbf{X}\mathbf{A} = \mathbf{A}^k,</math>
Řádek 101:
: (5k) <math>\mathbf{A}^k\mathbf{X} = \mathbf{X}\mathbf{A}^k,</math>
: (6k) <math>\mathbf{A}\mathbf{X}^k = \mathbf{X}^k\mathbf{A}.</math>
=== Drazinova inverze ===
Zobecněná inverzní matice, dle předchozí konvence (1k,2,5)-inverze, je tzv. '''Drazinova inverze'''. Podmínky (1k}, (2) a (5) jsou ekvivalentní podmínkám
Řádek 106 ⟶ 108:
: <math>\mathbf{A}^{k+1}\mathbf{X}=\mathbf{A}^k,\quad \mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{X}\mathbf{A},\quad \mathbf{A}\mathbf{X}^2=\mathbf{X}.</math>
=== Grupová inverze ===
Pokud <math>k=1</math>, pak Drazinovu inverzi, tedy (1,2,5)-inverzi nazývá me '''grupovou inverzí''', která se značí <math>\mathbf{A}^{\#}</math>.▼
▲Pokud <math>k=1</math>, pak Drazinovu inverzi, tedy (1,2,5)-inverzi
=== Spektrální inverze ===
Je-li čtvercová singulární matice <math>\mathbf{A}</math> navíc diagonalizovatelná, tj. <math>\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}\mathbf{P}^{-1}</math>, kde <math>\mathbf{\Lambda}=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_r,0,\ldots,0)</math> je diagonální s vlastními čísly na diagonále. Zobecněnou inverzi můžeme definovat pomocí vztahu
: <math>\mathbf{X}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda}^+\mathbf{P}^{-1}, \qquad \text{kde}\qquad \mathbf{\Lambda}^+=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{\lambda_1},\ldots\frac{1}{\lambda_r},0,\ldots,0\right).</math>
Tato inverze zřejmě splňuje podmínky (1), (2}, (5), je tedy grupovou inverzí, a nazývá se '''spektrální inverze'''.
| |||