Permutace: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m uvod/zpresneni |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 1:
{{Upravit - matematika}}
{{Neověřeno}}
'''Permutace''' [[množina|množiny]], která obsahuje <math> \scriptstyle n</math> prvků, je nějaké pořadí, v jakém se dají prvky seřadit. Někdy se také uvažují tzv. ''permutace s opakováním'', což jsou všechny možné pořadí souborů prvků, v kterém se nějaký prvek může vyskytovat víckrát. Jednotlivé prvky v souboru jsou od sebe nerozlišitelné.
Obecněji je permutace bez opakování chápána jako [[bijekce|bijektivní zobrazení]] z [[množina|množiny]] <math> \scriptstyle A</math> na množinu <math> \scriptstyle A</math>.
Řádek 83:
(pozor, toto je skládání ''z leva do prava'', někdy se používá opačné)
Součin permutací zkráceně zapíšeme <math>\pi = \pi_1 \circ \pi_2</math>
Násobení permutací není v obecném případě komutativní, tzn. <math>\pi_1 \circ \pi_2 \neq \pi_2 \circ \pi_1</math>.
=== Příklad ===
:<math>\pi_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 3 & 1 & 5 & 2\end{pmatrix}</math>
:<math>\pi_2 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 2 & 4 & 1 & 3 & 6\end{pmatrix}</math>
Za použití výše uvedené metody způsobu zápisu permutace vypadají následovně
:<math>\pi_1 = (1, 6, 2, 4) </math>
:<math>\pi_2 = (1, 5, 3, 4) </math>
Složením permutací <math>\pi_1 </math> a <math>\pi_2 </math> rozumíme permutaci <math>\pi_2 \circ \pi_1 = (1, 5, 3, 4) \circ (1, 6, 2, 4) </math>
Permutace skládáme jako funcke, tedy zprava doleva. Nejprve se podíváme na první prvek permutace <math>\pi_1 </math>. V ní číslo 1 jde na číslo 6. Pak se podíváme kam jde 6 v <math>\pi_2</math>. Permutace <math>\pi_2</math> o čísle 6 nic neříká, tedy píšeme
(1 6
Teď se podívám kam jde 6 v <math>\pi_1</math>. Na 2. Druhá permutace opět o 2 nehovoří. Tedy pokračujeme v zápisu
(1 6 2
Číslo 2 jde <math>\pi_1</math> na 4, ale číslo 4 jde v <math>\pi_2</math> na 1 a tento provek už máme jako začátek našeho cyklu. Tedy zatím počítáme správně. Pokud by nám vyšlo nějaké číslo, které není na začátku cyklu, pak je někde chyba. Tedy uzavíráme cyklus.
(1 6 2)
Teď se podíváme na číslo do permutace vpravo, které jsme ještě nepoužili (není napsáno v již uzavřeném cyklu). Takovým číslem je 4. Číslo 4 jde v <math>\pi_1</math> na 1 a ta jde v <math>\pi_2</math> na 5. To zapíšeme
(1 6 2)(4 5
a provedeme tento postup pro zbylá čísla (zde chybí už jenom číslo 5).
Tedy výsledek je
<math>\pi_2 \circ \pi_1 = (1, 5, 3, 4) \circ (1, 6, 2, 4) = (1, 6, 2)(4, 5, 3)</math>
Pozn.: Může Vám vyjít třeba (216)(534), ale to je to samé, neb (216) = (162) = (621).
=== Vlastnosti ===
Máme-li na dané množině <math>M</math> permutace <math>\scriptstyle \pi, \pi_1, \pi_2, \pi_3 \,\!</math> a identickou permutaci <math>\scriptstyle I \,\!</math>, pak platí vztahy
| |||