Topologický prostor: Porovnání verzí

Odebráno 679 bajtů ,  před 10 lety
ruzne drobne zmeny, ucesani, doplneni prikladu, zmazani slabsich casti "neformalniho uvodu"
m (Robot opravil přesměrování na Reálná čísla - Změněn(y) odkaz(y) na Reálné číslo)
(ruzne drobne zmeny, ucesani, doplneni prikladu, zmazani slabsich casti "neformalniho uvodu")
'''Topologický prostor''' je [[matematická struktura]], která umožňujematematicky formalizovatzobecňuje apojem ''tvar''. Umožňuje také definovat na zobecnitprostoru takové pojmy, jako jsou [[konvergence]], [[kompaktnost]] a [[spojitost]]. VyskytujíTopologie se vyskytuje prakticky ve všech odvětvích moderní [[Matematika|matematiky]]. Topologickými prostory se zabývá [[topologie]].
 
== Neformální úvod ==
Pojmy [[uzavřená množina]], [[Kompaktní množina|kompaktní množina]], [[Spojité zobrazení|spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálné číslo|reálných čísel]]{{Doplňte zdroj}}. Lze je však podobně definovat podobně na každélibovolné množině, jejímžna dvojicímkteré prvkůje lze přiřadit jakousi „vzdálenost“ od ostatních prvků (například na množnědána [[Spojitá funkce|spojitýchmetrika]], tzv. [[Matematickámetrický funkce|funkcíprostor]]. lzeMetrika jakoje „vzdálenost“funkce, prvků chápat buď [[Určitý integrál|integrál]]která zsplňuje jejichněkolik rozdíluaxiomů, nebokteré maximumzobecňují zklasickou jejicheuklidovskou rozdíluvzdálnost. apod.).
 
Pojem „topologický prostor“ vznikl proto{{Doplňte zdroj}}, aby bylo možné mnoho metrických pojmů (viz příklady výše) rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
Pojmy [[uzavřená množina]], [[Kompaktní množina|kompaktní množina]], [[Spojité zobrazení|spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálné číslo|reálných čísel]]. Lze je však podobně definovat na každé množině, jejímž dvojicím prvků lze přiřadit jakousi „vzdálenost“ od ostatních prvků (například na množně [[Spojitá funkce|spojitých]] [[Matematická funkce|funkcí]] lze jako „vzdálenost“ prvků chápat buď [[Určitý integrál|integrál]] z jejich rozdílu, nebo maximum z jejich rozdílu apod.).
 
Topologie stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin. Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. [[nosná množina]]) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy, které topologický prostortopologického definujíprostoru.
Jelikož se takto zavedené pojmy ukázaly v matematice jako užitečné, byly formalizovány pomocí pojmu [[metrický prostor]], což je každá množina vybavená funkcí, která splňuje několik axiomů, které zajišťují jistou míru podobnosti této funkce s klasickou vzdáleností. Metrický prostor je velmi obecná [[matematická struktura]], takže je-li nějaké tvrzení dokázáno pro každý metrický prostor, [[Strukturní přístup|není již třeba]] jej ověřovat zvlášť pro čísla, pro body prostoru, pro funkce atd. (Totéž platí pro topologický prostor.)
 
Každý metrický prostor je automaticky topologickým prostorem, protože systémsjednocení všechotevřených podmnožinkoulí „otevřenýchpřirozeně vdefinují metrickémsystém smyslu“otevřených vždy tyto axiomy splňujemnožin. Potom pojmyPojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.
Pojem „topologický prostor“ vznikl proto, aby bylo možné mnoho metrických pojmů (viz příklady výše) rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo|ordinální čísla]].
 
Jiný přístup k topologii je matematické uchopení pojmu ''tvar''. Pro bezne geometricke telesa plati, ze se daji na sebe vzajemne spojite zobrazit, pokud maji stejnou topologii.
V metrických prostorech má každý z těchto pojmů svoji definici pomocí metriky, stejně jako pojem [[otevřená množina]]. Topologie pracuje naopak tak, že se stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin (nikoli pomocí metriky).
 
Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. [[nosná množina]]) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy, které topologický prostor definují.
 
Každý metrický prostor je automaticky topologickým prostorem, protože systém všech podmnožin „otevřených v metrickém smyslu“ vždy tyto axiomy splňuje. Potom pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.
 
Topologie je velmi abstraktní disciplína; v porozumění definicím a větám pomáhá si je nejprve představit na reálných číslech, poté v rovině či [[Euklidovský prostor|euklidovském prostoru]] <math> \R^n \,\!</math>, poté na metrickém prostoru a nakonec v obecném topologickém prostoru.
 
== Definice ==
 
== Příklady topologických prostorů ==
* Množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] s topologií generovanou otevřenými [[Interval (matematika)|intervaly]]. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením klidně i nekonečně mnoha otevřených intervalů
* [[Metrický prostor]] je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými [[Koule (topologie)|koulemi]]. To zahrnuje i [[Banachův prostor|Banachovy prostory]] či [[Hilbertův prostor|Hilbertovy prostory]].
* [[Graf (teorie grafů)]].
* [[Varieta (matematika)|Varieta]] s topologií definovanou daným atlasem.
* [[Algebraická varieta]] se [[Zariského topologie|Zariského topologií]]. Tato topologie, používaná v [[algebraické geometrii|algebraická geometrie]] není Hausdorfovská.
 
== Související články ==
* [[Spojité zobrazení]]
* [[Kompaktní množina]]
* [[Algebraická topologie]]
 
* [[Diferenciální topologie]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Geometrie]]
 
[[ar:فضاء طوبولوجي]]