Diferenční rovnice

Máme-li danou posloupnost $\{a_{n}\}\,$ reálných čísel, potom první diferenci definujeme $d(a_{n})\,$ takto

$a_{n}-a_{n-1}\,$.

Druhou diferenci $d^{2}(a_{n})\,$ definujeme jako

$d(a_{n})-d(a_{n-1})\,$,

což můžeme zjednodušit jako

$a_{n}-2a_{n-1}+a_{n-2}\,$.

Obecně: k-tou differenci $d^{k}\,$ definujeme jako

$d^{k-1}(a_{n})-d^{k-1}(a_{n-1})\,$.

Diferenční rovnice je rovnice složena z posloupnosti $a_{n}\,$ jejich k-tých diferencí.

Vztah k rekurentním vztahům

Lineární rekurentní vztahy jsou diferenční rovnice, a naopak; protože je to obvyklá forma rekurze, někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

$3d^{2}(a_{n})+2d(a_{n})+7a_{n}=0\,$

je ekvivalentní rekurentnímu vztahu

$12a_{n}=8a_{n-1}-3a_{n-2}\,$.