Wikipedie

Grupoid (teorie kategorií): Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
drobne opravy
m wikifikace
Řádek 1:
'''Grupoid (teorie kategorií)''' je pojem z [[matematika|matematiky]], přesněnjipřesněji z homotopické teorie a [[teorie kategorií|teorie kategorií]]. Grupoid zachycuje vlastnosti několika matematických struktur souvisejících s (neúplnými) symetriemi, konexemi, homotopií ad. Lze pomocí něj zachytit ale i strukturu exitací a deexitací elektronů v obalu atomu.
 
== Terminologická poznámka ([[Homonymum|homonymie]]) ==
V části české matematické literatury pojem grupoid označuje jiný pojem než ten definovaný na této stránce. V anglické, německé nebo francouzské literatuře se pod pojmem grupoid (psaný víceméně stejně ve všech těchto třech jazycích) rozumí na této stránce vysvětlovaný pojem, tj. grupoid (teorie kategorií). Pojem v češtině často označovaný slovem grupoid se v anglické litaratuřeliteratuře nazývá většinou magma.
 
== Definice ==
[[kategorie|Kategorii]] <math>C</math> nazveme grupoid, pokud je každý [[Teorie kategorií|morfizmus]] v <math>C</math> mezi libovolnými dvěma [[kategorie|objekty kategorie]] <math>C</math> [[Izomorfismus|izomorfizmem]].▼
 
== Příklady ==▼
 
==Definice= Grupa ===
1. [[Grupa|Grupa]] je grupoid s jedním objektem. Objasněme tento příklad. Nechť <math>K</math> je kategorie s jedním objektem <math>*</math>, v níž každý [[kategorie|morfizmus]] je [[Izomorfismus|izomorfizmus]]. Sestrojme grupu <math>G</math>, jejíž prvky <math>G</math>) tvoří právě všechny morfizmy z <math>K</math>, tj. prvky <math>Mor(K)</math>. Pro <math>a, b \in G</math> definujme <math>a b \in G</math> následovně. Jelikož <math>a, b \in Mor(K)</math>, jsou <math>a: * \to *</math> i <math>b:*\to *</math> morfizmy, které lze skládat (viz [[Teorie kategorií|teorii kategorií]]). Výsledkem je morfizmus <math> c \in Mor(K)</math>, tj. prvek z <math>G</math>. Neutrální prvek v <math>G</math> je definitoricky identita <math>id_*</math> na <math>*</math>, která je dle definice kategorie jediná. Inverze k <math>a \in G</math> se definuje jako inverzní morfizmus k <math>a \in Mor(K)</math>, který existuje dle definice grupoidu a je jediný dle definice kategorie. [[Asociativita|Asociativita]] na <math>G</math> definovaného násobení plyne snadno z definice kategorie, kde je asociativita podmínkou, která musí být splněna pro operaci skládání morfizmů. ▼
▲[[kategorie|Kategorii]] <math>C</math> nazveme grupoid, pokud je každý [[Teorie kategorií|morfizmus]] v <math>C</math> mezi libovolnými dvěma [[kategorie|objekty kategorie]] <math>C</math> [[Izomorfismus|izomorfizmem]].
 
▲==Příklady==
▲1. [[Grupa|Grupa]] je grupoid s jedním objektem. Objasněme tento příklad. Nechť <math>K</math> je kategorie s jedním objektem <math>*</math>, v níž každý [[kategorie|morfizmus]] je [[Izomorfismus|izomorfizmus]]. Sestrojme grupu <math>G</math>, jejíž prvky <math>G</math>) tvoří právě všechny morfizmy z <math>K</math>, tj. prvky <math>Mor(K)</math>. Pro <math>a, b \in G</math> definujme <math>a b \in G</math> následovně. Jelikož <math>a, b \in Mor(K)</math>, jsou <math>a: * \to *</math> i <math>b:*\to *</math> morfizmy, které lze skládat (viz [[Teorie kategorií|teorii kategorií]]). Výsledkem je morfizmus <math> c \in Mor(K)</math>, tj. prvek z <math>G</math>. Neutrální prvek v <math>G</math> je definitoricky identita <math>id_*</math> na <math>*</math>, která je dle definice kategorie jediná. Inverze k <math>a \in G</math> se definuje jako inverzní morfizmus k <math>a \in Mor(K)</math>, který existuje dle definice grupoidu a je jediný dle definice kategorie. [[Asociativita|Asociativita]] na <math>G</math> definovaného násobení plyne snadno z definice kategorie, kde je asociativita podmínkou, která musí být splněna pro operaci skládání morfizmů.
 
Obráceně lze ke každé grupě přiřadit jednoprvkový grupoid a tato konstrukce je inverzní ke konstrukce podpsanépopsané v odstavci výše.
 
=== [[Symetrie|Symetrie]] dlaždiček ===
2. [[Symetrie|Symetrie]] dlaždiček. Představme si, že máme stěnu pokrytou dlaždičkami stejného obdélníkového tvaru o rozměrech 3 krát 4. Předpokládejme, že dlaždičky vyplňují právě obdélníkovou síť skládající se z např. 5 krát 7 dlaždiček. ZavďmeZaveďme [[Kartézská soustava souřadnic|kartézskou souřadnou soustavu]] v rovině dlaždiček tak, že její počátek splývá s levým dolním rohem levé dolní dlaždičky, horizontální osa je rozdělena na 3 . 5 = 15 a vertikální na 4 . 7 = 28 dílků. Definujme grupoid <math>K</math> symetrie dlažičekdlaždiček následovně.
Označme množinu všech dlaždiček symbolem <math>D</math>. Pokud <math>x, y \in D</math> (tj. <math>x, y</math> jsou dlaždičkami), pak <math>t_{x,y}</math> buď [[TrnaslaceTranslace|translace]] zadaná přičítáním takového vektoru <math>t\in \mathbb{R}^2</math>, jímž posuneme-li dlaždičku <math>x</math>, dostaneme dlaždičku <math>y.</math> Objekty <math>Ob(K)</math> kategorie <math>K</math> definujme předpisem
<math>Ob(K):=\{(x,t,y); x, y\in D \mbox{ a } t=t_{x,y}\}</math>, tj. pokud <math>x, y \in D</math>, pak <math>(x,t,y) \in Ob(K), </math> právě tehdy když <math>y</math> vznikne posunutím (translaci) <math>x</math> o vektor <math>t</math>. Pro <math>x, y \in D</math> definujme <math>Mor(x,y):=\{t_{x,y}\}</math>.
Pokud <math>(x,t,y), (y',t',z) \in Ob(K)</math> defiujmedefinujme prvek <math>(x,t,y) \circ (y', t', z):=(x, t+t',z) \in K</math>, právě tehdy když <math>y=y'</math>. Je zřejmé, že vzniklá množina je grupoid, neboť všechny translace lze invertovat (translace inverzní k translaci zadané vektorem <math>t</math> je translace zadaná vektorem <math>-t</math>).
 
Zajímavější grupoid, který označme <math>K',</math> dostaneme, povolíme-li za množinu objektů kromě translací i rotace a zrcadlení zachovávající strukturu obložené části stěny, přesněji pro <math>x, y \in D</math> definujme <math>Mor(x,y):=\{f \in O(2,\mathbb{R})\times_s \mathbb{R}^2; f(x)=y\},</math> kde <math>O(2,\mathbb{R})</math> je [[Grupa ortogonálních transformací|grupa ortogonálních transformací]] v rovině, <math>\mathbb{R}^2</math> reprezentuje translace vektory z <math>\mathbb{R}^2</math> a <math> \times_s</math> je tzv. polopřímý neboli semidirektní součin.
Řádek 23 ⟶ 24:
Skládání morfizmů je definováno jako skládání zobrazení, pokud tyto skládat lze, tj. obor hodnot jednoho je definičním oborem druhého.
 
I když zobrazení z <math>Mor(K')</math> působí na <math>Ob(K')</math> [[Akce grupy na množině|tranzitivně]] (dokonce prvky z <math>Mor(K)</math> působí tranzitivně na <math>Ob(K')</math>), jednotlivé prvky <math> x \in D</math> mají obecně různé [[Stabilizátor|stabilizátory]], tj. „objekty“ <math>Stab(x):=\{f \in Mor(K'); f(x,0,x)=(x,0,x)\}</math> nejsou obecně [[Izomorfismus|izomorfní]] pro různá <math>x \in D</math>. (Poznamenejme, že není složité ověřit, že <math>Stab(x)</math> jsou grupy, a tedy lze hovořit o izomorfnosti.)
Tak např. stabilizátory dlaždiček "uvnitř"„uvnitř“ stěny jsou různé od stabilizatorůstabilizátorů těch v "rozích"„rozích“ a různé od stabilizátorů těch na "hranách„hranách mimo rohy"rohy“. Je to tak proto, že vzniklý grupoid není grupa. Kdyby byl, byly by stabilizátory izomorfní.▼
(dokonce prvky z <math>Mor(K)</math> působí tranzitivně na
<math>Ob(K')</math>), jednotlivé prvky <math> x \in D</math> mají obecně různé [[Stabilizátor|stabilizátory]], tj. "objekty" <math>Stab(x):=\{f \in Mor(K'); f(x,0,x)=(x,0,x)\}</math> nejsou obecně [[Izomorfismus|izomorfní]] pro různá <math>x \in D</math>. (Poznamenejme, že není složité ověřit, že <math>Stab(x)</math> jsou grupy, a tedy lze hovořit o izomorfnosti.)
▲Tak např. stabilizátory dlaždiček "uvnitř" stěny jsou různé od stabilizatorů těch v "rozích" a různé od stabilizátorů těch na "hranách mimo rohy". Je to tak proto, že vzniklý grupoid není grupa. Kdyby byl, byly by stabilizátory izomorfní.
 
Pokud uvažujeme složitější prostory, pocházející např. z teoretické fyziky nebo geometrie, než je prostor dlaždiček, můžeme právě porovnáváním různých stabilizátorů co do izomorfnosti matematicky zachytit fakt, že objekyobjekty, jako např. dlaždička v levém dolním a např. pravém dolním rohu jsou z hlediska symetrie stejné. Pojem grupy v tomto případě nepomůže přesně, neboť např. ne všechny translace lze skládat a přitom nevyjít z obloženého prostoru.
 
3.=== "Elektronový obal atomu". ===
StručneStručně řekněme, že tento grupoid je tvořen všemi přípustnými přechody elektronů v obalu atomu mezi jednotlivými "energetickými„energetickými hladinami"hladinami“. Jedná se sřejmězřejmě o grupoid, neboť přechody mezi hladinami jsou reverzibilní a navíc jejich skládání je asociativní.
Tento grupoid souvisí s řešeními Schroedingerovy rovnice pro vlastní stavy hamiltoniánu atomu a příslušným poruchovým počtem.
 
=== Topologie ===
4. Topologie. Nechť <math>X</math> je [[Topologický prostor|topologický prostor]], obecně ne nutně [[Topologický prostor|obloukově souvislý]].
Objekty grupoidu definujme jako body prostoru <math>X</math>. Morfizmy mezi dvěma objekty <math>x, y in X</math> definujme jako třídy [[Ekvivalence|ekvivalence]] spojitých oblouků spojujících bod <math>x</math> s bodem </math>y, přičemž řekneme, že dva oblouky jsou ekvivalentní, pokud jsou [[Homotopie|homotopické]]. Vzniklý objekt je grupoid, jak se snadno ověří a navíc není grupou, pokud prostor <math>X</math> není obloukově souvislý (oblouky ležící v různých komponentách obloukové souvislosti nelze skládat). Vzniklému grupoidu se říká homotopický grupoid. Pokud <math>X</math> je obloukově souvislý, je homotopický grupoid izomorfní [[Homotopická grupa|homotopické grupě]].
 
5.=== Fíbrované bandly. ===
Atlasy fíbrovaných bandlů, tj. množina dvojic otevřených okolí báze a na nich definovaných trivializujících map, tvoří také grupoid.
 
== Poznámka ==
Pojem grupoid je často používán v současné algebraické geometrii, jejímž základním v současnosti "nejobecnějším"„nejobecnějším“ objektem výzkumu (model "prostoru"„prostoru“ zkoumaný touto teorií) je tzv. zásobník (anglicky {{cizojazyčně|en|stack}}, francouzsky {{cizojazyčně|fr|champs}}), což je kategorie fíbrovaná v kategorii grupoidů splňující jistou (technickou, ale podstatnou) podmínku lokálnostilokality (tzv. podmínka efektivnosti sestupujících dat).
 
Grupoid je používán také v homotopické teorii, teorii konexí a v symplektické geometrii nebo v teorii deformačního kvantování.
 
==Lieratura Literatura ==
* A. Weinstein, Grupoids: unifying internal and external symmetry, arXiv:math/9602220.
* Waldschmidt, Moussa, Luck, Itzykson, From Number theory to Physics, Springer-Verlag, 1992.▼
 
[[Kategorie:Teorie kategorií]]
▲Waldschmidt, Moussa, Luck, Itzykson, From Number theory to Physics, Springer-Verlag, 1992.
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Grupoid_(teorie_kategorií)“