Wikipedie

Reprezentace (grupa): Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Doplneni o nekonecne rozmerne reprezentace, drobne upravy
upavy odkazu i stylu
Řádek 1:
'''Reprezentace [[grupa|grupy]]''' G je [[homomorfizmus]] <math>G\to Aut(V)</math>, kde V je [[vektorový prostor]] a <math>Aut(V)</math> [[grupa]] [[invertibilníinvertibilita|invertibilních]]ch [[lineární zobrazení|lineárních zobrazení]] <math>V\to V</math> s operací skládání. Za předpokladu volby [[báze (algebra)|baze]] prostoru <math>V</math> můžmelze reprezentaci chápat jako homomorfizmus G do prostoru [[matice|matic]]. Pokud je homomorfizmus dán, říkáme někdy, žeje prostor <math>V</math> jeoznačován jako reprezentace G.
 
Ekvivalentně se říká, že <math>V</math> je G-[[modul (algebra)|modul]], nebo-li <math>G</math> má [[akce (algebra)|akci]] na <math>V</math>.
 
Pokud <math>V</math> je [[topologický vektorový prostor|topologický vektorový]] prostor a <math>G</math> je [[topologická grupa|topologická grupa]], je požadováno, aby indukované zobrazení ([[akce|akce]]) <math> V \times G \to V </math> bylo [[spojitost|spojité]].
 
 
Řádek 14:
 
Další reprezentace této grupy je tzv. znaménková reprezentace, což je reprezentace na <math>\mathbb{R}</math> přiřazující každému prvku permutační grupy jeho znaménko. Je známo, že jiné [[ireducibilní reprezentace|ireducibilní reprezentace]], než tyto tři uvedené, neexistují.
 
== Využití ==
 
Řádek 19 ⟶ 20:
vyskytuje grupa <math>G</math>, která je grupou symetrie dané teorie nebo daného problému. Nejčastěji to bývají [[Lieova grupa|Lieovy grupy]], jako např. grupa [[rotace|rotací]] prostoru, grupa [[Lorentzova transformace|Lorentzových transformací]], [[Poincarého grupa|Poincarého grupa]] nebo grupa <math>U(1)</math> (v [[elektromagnetizmus|elektromagnetizmu]]), <math>SU(2), SU(3)</math> (v [[teorie slabých interakcí|teoriích slabých]] a [[teorie silných interakcí|silných interakcí]]), resp. <math>U(1)\times SU(2)\times SU(3)</math> (v různých teoriích sjednocení) a pod. Objekty teorie (částice a pod.) jsou pak prvky (nějaké) reprezentace dané grupy symetrie. Ve fyzice se navíc obvykle předpokládá, že reprezentace je [[unitární operátor|unitární]], t.j. na prostoru je dán skalární součin, který je invariantní vůči akci grupy. Klasifikace unitarizovatelných reprezentací klasických grup není zatím obecně známa (pro výše uvedené grupy ale ano).
 
Reprezentace [[Lieova grupa|Lieových grup]] mají aplikace v [[geometrie|geometrii]] a studium reprezentací grup v prostorech kladné charakteristiky má aplikace v [[teorie čísel|teorii čísel]]. Teorie reprezentací souvisí a v jistém smyslu její některé partie jsou i zobecněním klasické [[harmonická analýza|harmonické analýzy]] studující funkce prostřednictvím [[Fourierova transformace|Fourierovy transformace]].
{{Pahýl - matematika}}
 
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Reprezentace_(grupa)“