Einsteinova konvence: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m typos |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 85:
Toto ale není notace použitá Einsteinem.
== Abstraktní definice ==
Uvažujme [[vektorový prostor]] ''V'' s konečnou [[dimenze (lineární algebra)|dimenzí]] ''n'' a určitou [[Báze (lineární algebra)|bázi]] ''V''. Bázové vektory můžeme psát jako '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>. Pak jestliže '''v''' je vektor v prostoru ''V'', má vzhledem k bázi souřadnice ''v''<sub>1</sub>, ..., ''v<sub>n</sub>''.
Základní pravidlo:
: '''v''' = ''v<sub>i</sub>'' '''e'''<sub>''i''</sub>.
V tomto příkladu se předpokládalo, že výraz na pravé straně byl sečten přes ''i'' s hodnotami 1 sž ''n'', protože index ''i'' se neobjevuje na obou stranách výrazu. (Nebo, použijeme-li Einsteinovu konvenci, protože se index ''i'' objevil dvakrát.)
Index ''i'' se také označuje jako ''nepravý index'' protože výsledek na něm nezávisí; tudíž můžeme také například psát :
: '''v''' = ''v<sub>j</sub>'' '''e'''<sub>''j''</sub>.
Index, přes který se nesčítá, je ''volný index'' a může se vyskytnout v každém členu rovnice nebo výrazu.
Tam, kde se index musí objevit jednou jako dolní index a jednou jako horní index, si základní vektor '''e'''<sub>''i''</sub> ponechá dolní index, ale souřadnice budou ''v<sup>i</sup>'' s horním indexem.
Pak základní pravidlo je:
: '''v''' = ''v<sup>i</sup>'' '''e'''<sub>''i''</sub>.
Hodnota Einsteinovy konvence je také v tom, že se aplikuje k dalším vektorovým prostorům vystavěných z V'' použitím [[tenzorový součin|tenzorového součinu]] a [[dualita(lineární algebra)|duality]]. Například <math>V\otimes V</math>, tenzorový součin ''V'' se sebou samým, má bázi skládající se z tenzorů tvaru <math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math>. Libovolný tenzor '''T''' v <math>V\otimes V</math> lze psát jako:
:<math>\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}</math>.
''V*'', duální prostor k ''V'', má bázi '''e'''<sup>1</sup>, '''e'''<sup>2</sup>, ..., '''e'''<sup>''n''</sup> která splňuje pravidlo
:<math>\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j</math>.
Zde δ je [[Kroneckerovo delta]], tak <math>\delta_{i}^j</math> je 1 jestliže ''i'' =''j'' a 0 v ostatních případech.
== Příklady ==
Einsteinova sumace se stane jasnější s pomocí několika jednoduchých příkladů. Uvažujme čtyřrozměrný časoprostor, s indexy od 0 do 3 :
:<math>a^\mu b_\mu = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3</math>
:<math>a^{\mu\nu} b_\mu = a^{0\nu} b_0 + a^{1\nu} b_1 + a^{2\nu} b_2 + a^{3\nu} b_3.</math>
Výše uvedený příklad je jedno ze zúžení, obecné tenzorové operace. Tenzor <math> a^{\mu\nu}b_{\alpha}</math> přejde do nového tenzoru sumací přes první horní a dolní index. Typicky je výsledný tenzor přejmenován pomocí odstranění zužovacích indexů :
<math>s^{\nu} = a^{\mu\nu}b_{\mu}.</math>
Podobný příklad - uvažujme skalární součin dvou vektorů '''a''' a '''b'''. Skalární součin je definován jednoduše jako suma přes indexy '''a''' a '''b''':
<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_{\alpha}b^{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,</math>
[[Kategorie:Lineární algebra]]
| |||