Wikipedie

Lineární algebra: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m wikilink
chybná def. vektoru; příklad s HNP je absolutně chybný, to nejsou vektory; rozšířen úvod do LA; odstraněny hrozné a neužitečné "Některé užitečné věty", přidány odkazy na další čtení
Řádek 7:
==Základní úvod==
 
Lineární algebra má svoje počátky ve studiu [[vektorVektor|vektorů]]ů v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézském]] dvourozměrném a trojrozměrném prostoru. VektorObecně jejsou tadyale směrovanávektory [[úsečka]] a je charakterizovaný jak svojíjakékoliv velikostíobjekty, kterákteré jelze dánadobře délkousčítat úsečky,a taknásobit svýmčíslem směrem. Vektory mohou být používány k reprezentaci fyzických veličin jako je například(viz [[síla]]vektorový a mohou být navzájem sčítány a násobeny [[skalárprostor]]em).
 
Vektor je tedy např. směrovaná [[úsečka]] a je charakterizovaný jak svojí velikostí, která je dána délkou úsečky, tak svým směrem. Takovéto vektory slouží dobře ve fyzice jako reprezentace tzv. vektorových veličin ([[rychlost]], [[síla]], [[elektrický proud]], [[intenzita pole]], ...). Vektorem ale může být také [[polynom]], [[funkce]] nebo [[posloupnost]]. Z těchto vektorů můžeme navíc vybrat takové s nějakou vlastností, která se zachovává sčítáním i násobením čislem (u funkcí spojitost nebo diferencovatelnost, u polynomů nejvyšší stupeň, u posloupností omezenost ...).
Moderní lineární algebra byla později rozšířena na prostory libovolné dimenze (i nekonečné). Vektorový prostor dimenze ''n'' se nazývá ''n''-rozměrný prostor. Mnohé z užitečných vlastností 2 a 3-dimenzionálního prostoru mohou být rozšířeny na tyto prostory vyšší dimenze. Ačkoli si mnoho lidí nedokáže snadno představit vektory ''n''-rozměrného prostoru, jsou tyto vektory neboli ''n''-tice užitečné pro reprezentaci dat. Protože vektory nebo ''n''-tice jsou ''uspořádané'' seznamy ''n'' komponent, je možné s daty v této podobě vhodně manipulovat.
Například v [[ekonomie|ekonomii]] lze používat řekněme 8-dimenzionální vektory neboli osmice jako reprezentaci [[Hrubý národní produkt|hrubého národního produktu]] 8 zemí.
Mohli bychom se rozhodnout zobrazit HNP 8 zemí určitého roku, kde je dáno pořadí zemí, například ([[Spojené státy americké|USA]], [[Spojené království|Velká Británie]], [[Francie]], [[Německo]], [[Španělsko]], [[Indie]], [[Japonsko]], [[Austrálie]]), pomocí vektoru (v<sub>1</sub>, v<sub>2</sub>, v<sub>3</sub>, v<sub>4</sub>, v<sub>5</sub>, v<sub>6</sub>, v<sub>7</sub>, v<sub>8</sub>), ve kterém se HNP každé země nachází na odpovídající pozici.
 
Takto uzavřenou množinu nazýváme [[vektorový prostor]]. Jak vidíte, podstatnou vlastností je, že pokud sečteme dva vektory nebo vynásobíme vektor číslem, získáme zase vektor. Může existovat konečná skupina vektorů takových, že sčítáním různých násobků těchto vektorů lze získat jakýkoliv libovolný vektor. Např. tři navzájem kolmé úsečky v kartézské soustavě třírozměrného prostoru. Takovéto vektory nazýváme generátory. Pokud navíc platí, že žádný z generátorů nelze nakombinovat z ostatních, nazýváme je [[báze|bází]].
Jako čistě abstraktní koncept, na kterém se dokazují [[věta (matematika)|věty]], je vektorový prostor (nebo lineární prostor) součástí abstraktní algebry a je v této oblasti dobře integrován.
 
Příkladem tohoto mohou být například [[grupa|grupy]] invertibilních lineárních zobrazení nebo [[matice|matic]] a [[okruh (algebra)|okruhy]] lineárních zobrazení vektorového prostoru.
Počet vektorů v bázi nazýváme [[dimenze]]. Jak snadno uhádnete, vektorový prostor orientovaných úseček v rovině má [[dimenze|dimenzi]] 2 a v prostoru 3. S polynomy je to složitější. Lze dokázat, že konečná báze neexistuje. Pokud se však omezíme na [[polynom|polynomy]] stupně nejvýše 2 a nulový polynom, bází se stane např. trojice 1, x, x<sup>2</sup>. Označme je p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub> a p<sub>3</sub>. Pak jakýkoliv polynom stupně nejvýše 2 lze nakombinovat z těchto polynomů:<br />
Lineární algebra také hraje důležitou roli v analýze, zvláště v popisu derivací vyššího řádu ve vektorové analýze a ve studiu součinu tenzorů a alternujících zobrazení.
<math>5 {x^2} + 2 x + 3 = 5 p_3(x) + 2 p_2(x) + 3 p_1(x).</math><br />
To ale není jediná báze, těch je nekonečně mnoho.<br />
Např. pro q<sub>1</sub>(x) = x<sup>2</sup> + x + 1, q<sub>2</sub>(x) = - x<sup>2</sup> + x + 1, q<sub>3</sub>(x) = x - 1 je trojice q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub> a q<sub>3</sub> též bází. Pak<br />
<math>5 {x^2} + 2 x + 3 = \frac{15}{4} q_1 - \frac{5}{4} q_2 - \frac{1}{2} q_3.</math><br />
 
Pokud má báze tři vektory, mají všechny další báze také tři vektory a dimenze je 3. Obecně bychom mohli dokázat, že vektorový prostor všech polynomů stupně nejvýše n a nulového polynomu (ten stupeň nemá) má dimenzi n+1.
 
Podobně se zavádí souřadnice. Pokud si bázi (p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, p<sub>3</sub>) označíme P a podobně (q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, q<sub>3</sub>) Q, jsou souřadnice našeho vektoru, označme jej v, v(x)=5 x<sup>2</sup> + 2 x + 3 v bázích P a Q:<br />
<math>(v)_P = (3, 2, 5)</math><br />
<math>(v)_Q = (\frac{15}{4}, -\frac{5}{4}, -\frac{1}{2})</math>
 
Podstata lineární algebry je, že všechny dokázané tvrzení platí pro všechny vektorové prostory, nezávisle na tom jak definujeme vektor, sčítání vektorů nebo jejich násobení číslem. Stačí pokud splňují podmínky pro [[vektorový prostor]].
 
U vektorových prostorů je dále důležité, co chápeme jako číslo. Odborně se to nazývá volbou tělesa. Tělesem může být množina, kde lze dělit i odčítat (tedy ne celá čísla). Minimálním tělesem je tedy množina všech racionálních čísel, nejčastější jsou čísla reálná a komplexní.
 
Vektorový prostor se definuje nad [[pole (matematika)|polem]], jako je třeba pole [[reálné číslo|reálných čísel]] nebo pole [[komplexní číslo|komplexních čísel]].
[[lineární zobrazení|Lineární operátory]] převádí prvky z jednoho lineárního prostoru do druhého (nebo do toho samého prostoru) a zachovává přitom vektorové sčítání a násobení skalárem dané na těchto vektorových prostorech.
Množina všech takových transformací je také vektorovým prostorem.
 
Je-li [[báze (algebra)|báze]] vektorového prostoru pevně zvolená, pak lze každou lineární transformaci zapsat ve formě [[matice]].
Detailní zkoumání vlastností matic a [[algoritmus|algoritmů]] prováděných na maticích, včetně výpočtu [[determinant]]u a [[vlastní vektor|vlastních vektorů]] a [[vlastní číslo|čísel]] matice, je součástí lineární algebry.▼
 
▲Detailní zkoumání vlastností matic a [[algoritmus|algoritmů]] prováděných na maticích, včetně výpočtu [[determinant|determinantu]]u a [[vlastní vektor|vlastních vektorů]] a [[vlastní číslo|čísel]] matice, je součástí lineární algebry.
Obecná metoda, kdy je nalezen lineární způsob pohledu na nějaký problém, ten je pak vyjádřen v termínech lineární algebry a je vyřešen například pomocí matic, je jedna z nejšířeji použitelných metod v matematice.▼
 
▲Obecná metoda, kdy je nalezen lineární způsob pohledu na nějaký problém, ten je pak vyjádřen v termínech lineární algebry a je vyřešen například pomocí matic, je jedna z nejšířeji použitelných metod v matematice.
==Některé užitečné věty==
 
==Související články==
*Každý nenulový (tj. neobsahující pouze nulový vektor) lineární prostor má [[Báze (algebra)|bázi]]. (Tento výrok je logicky ekvivalentní s [[axiom výběru|axiomem výběru]].)
* [[Vektorový prostor]]
*Matice je invertibilní právě tehdy, když její [[determinant]] není nulový.
* [[Vektor]]
*Matice je invertibilní právě tehdy, když [[lineární zobrazení]] reprezentované touto maticí je [[izomorfismus]].
* [[Báze (algebra)|Báze]]
* [[Dimenze]]
* [[Matice]]
* [[Lineární zobrazení]]
 
==Externí odkazy==
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Lineární_algebra“