Hodnost matice: Porovnání verzí

Hodnost se běžně označuje jako <math display="inline">\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A})</math><ref>{{Citace elektronického periodika

}}</ref>. Někdy se závorky nepíší: <math display="inline">\mathrmoperatorname{rank}\ \boldsymbol{A}</math>.

Matice<math display="block">\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{pmatrix}</math>má hodnost 2: první dva sloupce jsou [[Lineární závislost|lineárně nezávislé]], takže hodnost je alespoň 2, ale protože třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), všechny tři sloupce jsou lineárně závislé, takže hodnost musí být menší než 3. Matice<math display="block">\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{pmatrix}</math>má hodnost 1: obsahuje nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá. Podobně její [[Transpozice matice|transponovaná matice]]<math display="block">\boldsymbol{A}^{\mathrm T} = \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}</math>má také hodnost 1. Protože sloupcové vektory <math display="inline">\boldsymbol{A}</math> jsou řádkové vektory transponované matice <math display="inline">\boldsymbol{A}^{\mathrm T}</math> je ve skutečnosti tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice je rovna hodnosti její transponované matice, čili <math display="inline">\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A}) = \mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}) </math>.

* Pro matici <math>\boldsymbol{A}</math> typu <math>m \times n</math> platí <math display="inline">\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A}) \leq \min\{ m, n \}</math>, kde <math>\min \{ m, n \}\,</math> představuje nejmenší hodnotu z [[Množina|množiny]] <math>\{ m, n \}\,</math>. Hodnost matice typu <math>m \times n</math> je tedy menší nebo rovna než je menší z jejich rozměrů <math>m</math> a <math>n</math>.

* Pro [[Transponovaná matice|transponovanou matici]] platí <math display="inline">\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}) = \mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A})</math>. Hodnost transponované matice je tedy stejná jako hodnost původní matice.

* Hodnost součinu matic menší nebo rovna hodnosti obou z činitelů: <math>\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{AB}) \leq

\min\{ \mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A}),

\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{B})\}</math>. Rovnost nastává v případě, kdy alespoň jedna z matic je [[Regulární matice|regulární]].

Matice <math>\boldsymbol{A}</math> má '''plnou hodnost''', jestliže speciálně <math display="inline">\mathrmoperatorname{rank}(\boldsymbol{A}) = \min\{ m, n \}</math>.<ref>{{Citace elektronického periodika