Teorém Noetherové: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
opravy + ZZE |
|||
Řádek 34:
Nyní mějme spojitou ''k''-parametrickou [[transformace souřadnic|transformaci]] [[souřadnice|souřadnic]]
:<math>x^\mu\to x'^\mu = x^\mu - \varepsilon^i \xi_i^\mu(x) = x^\mu + \varepsilon^i\delta_i x^\mu,</math>
vůči které jsou fyzikální zákony invariantní. <math>\xi_i(x)</math> jsou obecně libovolné [[diferencovatelná funkce|diferencovatelné funkce]], <math>\varepsilon^i</math> jsou infinitezimální parametry, které generují příslušnou [[lieova grupa|Lieovu grupu]] symetrií a i probíhá hodnoty 1..''k''. Tato transformace indukuje transformaci zkoumaných veličin
:<math>\mathcal{S}\to\mathcal{S}'.</math>
:<math>\mathcal{L}(x,\phi_A,\partial_\mu\phi_A)\to\mathcal{L}'(x',\phi'_A,\partial_\mu\phi'_A),</math>
:<math>\phi_A(x)\to\phi'_A(x')=\phi_A+\varepsilon^i\delta_i \phi_A.</math>
Protože tato transformace nemění tvar [[pohybové rovnice|pohybových rovnic]], platí
Řádek 52:
\int_{M} \mathrm{d}^nx \, \mathcal{L}(x,\phi'_A,\partial_\mu\phi'_A)\,
+
\int_{\partial M} \mathrm{d}S \, \mathcal{L}(x,\phi'_A,\partial_\mu\phi'_A)
</math>
což dále upravíme podle [[gaussova věta|Gaussovy věty]] a pro hraniční členy dosadíme <math>\phi'=\phi\,</math>, čímž obdržíme tvar
Řádek 71:
\,-\, \partial_\mu \left( \mathcal{L}(x,\phi_A,\partial_\mu\phi_A) \varepsilon^i\xi_i^\mu(x) \right), </math>
kde jsme zavedli
:<math>\varepsilon^i\bar{\delta}_i\phi_A = \phi'_A(x)-\phi_A(x)
= \varepsilon^i \left(\delta_i \phi_A - \partial_\mu(\phi_A) \delta_i x^\mu\right),</math>
což je mj. [[Lieova derivace]] <math>\phi_A\,</math> podle pole <math>\varepsilon^i \xi_i^\mu</math>.
Řádek 88 ⟶ 89:
Pokud má tato rovnice platit pro všechna <math>\varepsilon^i</math> a zároveň platí <math>\mathcal{L}^A=0</math>, získáme ''k'' rovnic
:<math>\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu\phi_A)} \, \bar{\delta}_i\phi_A - \mathcal{L}(x,\phi_A,\partial_\mu\phi_A) \xi_i^\mu(x) \right)=0,</math>
což jsou hledané [[zákony zachování]].
===Zákon zachování energie ===
Nyní uvažujme pouze soustavu hmotných bodů, které se nacházejí v potenciálu, který závisí jen na jejich vzájemné poloze. Lagrangián je tedy dán jako
:{|
|-
|<math>\mathcal{S}[\vec{x}]\,</math>
|<math>=\int \mathrm{d}t \, \mathcal{L}(\vec{X}(t),\dot{\vec{X}}(t))</math>
|-
|
|<math>=\int \mathrm{d}t \left[\sum^N_{R=1} \frac{m_R}{2}\left(\dot{\vec{X}}_R\right)^2 -\sum_{R<S} V_{RS}(\vec{X}_S-\vec{X}_R)\right]</math>
|}
Roli souřadnice zde hraje jen čas ''t'', zatímco polohy <math>\vec{X}(t)</math> hrají roli zkoumaných veličin výše označených jako <math>\phi_A\,</math>. Protože nás zajímá infinitezimální transformace spojená s posunem v čase, zvolíme
:<math>\phi_A = \vec{X}_R</math>
:<math>\delta\phi_A = \delta\vec{X}_R = 0</math>
:<math>\delta t = -\varepsilon,\;\;\;\xi(t)=1</math>
Z toho dopočteme
:<math>\bar{\delta}\phi_A = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{X}_R \delta t=
\vec{\dot{X}}_R</math>
Povšimněme si, že <math>\delta t</math> je nenulové, zatímco <math>\delta \vec{X}_R</math> jsou nulové - o symetrie spojené s posunem v prostoru se nyní nezajímáme. Zákon zachování tedy dostáváme ve tvaru
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vec{\dot{X}}} (-\vec{\dot{X}})
- \mathcal{L}=0,
\right)</math>
což po dalších úpravách
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(
\sum^N_{R=1} m_R \dot{\vec{X}}_R (\vec{\dot{X}}_R)
-\left[\sum^N_{R=1} \frac{m_R}{2}\left(\dot{\vec{X}}_R\right)^2 -\sum_{R<S} V_{RS}(\vec{X}_S-\vec{X}_R)\right]
\right)=0,</math>
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(
\sum^N_{R=1} \frac{m_R}{2} \dot{\vec{X}}^2_R
+ \sum_{R<S} V_{RS}(\vec{X}_S-\vec{X}_R)
\right)=0,</math>
přejde na hledaný [[zákon zachování energie]].
==Viz také==
| |||