Otevřít hlavní menu

Teorém Noetherové je významnou větou teoretické mechaniky říkající, že každé spojité lokální symetrii, vůči které jsou invariantní rovnice popisující fyzikální systém, přísluší veličina, která se zachovává. Toto tvrzení platí obecně pro všechny zákony, které se dají formulovat pomocí principu nejmenší akce. V důsledku teorému Noetherové můžeme říci, že zákon zachování energie je důsledkem symetrie fyzikálních zákonů vůči posunutí v čase, zákon zachování hybnosti je důsledkem symetrie vůči posunutí v prostoru a zákon zachování momentu hybnosti souvisí se symetrií vůči otočení. Jedná se o tzv. slabé zákony zachování (nebo také on-shell zákony zachování), což znamená, že se daná veličina zachovává, pokud platí pohybové rovnice.

Teorém Noetherové je pojmenován po své autorce, německé matematičce Emmy Noetherové a byl poprvé publikován roku 1918.

OdvozeníEditovat

Předpokládejme, že máme funkcionál   nazývaný akce, kde   je konfigurační prostor závisející obecně na všech veličinách  , kterými popisujeme daný systém. (Multiindex A tyto veličiny čísluje.)

Předpokládejme dále, že akci můžeme vyjádřit v obvyklém tvaru, jako integrál hustoty lagrangiánu

 

přes celý prostor

 

(Přitom předpokládáme, že lagrangián závisí jen na prvních derivacích zkoumaných proměnných. Pro vyšší derivace je zobecnění přímočaré.) Podle principu stacionární akce platí

 

a to tak, že na okraji M jsou veličiny   nulové. (Jde o úlohu s pevnými okraji.) Provedením variace

 

kde

 

Protože   jsou na M libovolné, musí platit   což jsou rovnice popisující daný systém.

Nyní mějme spojitou k-parametrickou transformaci souřadnic

 

vůči které jsou fyzikální zákony invariantní.   jsou obecně libovolné diferencovatelné funkce,   jsou infinitezimální parametry, které generují příslušnou Lieovu grupu symetrií a i probíhá hodnoty 1..k. Tato transformace indukuje transformaci zkoumaných veličin

 
 
 

Protože se při ní (z předpokladů věty) nemění tvar pohybových rovnic, platí

 

takže pro akci systému platí

 

Protože transformace symetrie je infinitezimální, můžeme nahradit integrování přes M' v souřadnicích x' integrováním přes M v souřadnicích x, pokud při tom zároveň přičteme povrchový člen, o který se liší na hranici M. Ten vypočteme jako plošný integrál hustoty lagrangiánu krát skalární součin normály hranice s  .

 

což dále upravíme podle Gaussovy věty a pro hraniční členy dosadíme  , (variace na hranici je nulová,) čímž obdržíme tvar

 

Dosadíme-li tento tvar do rovnice (♠), obdržíme tvar

 

což přepíšeme jako

 

kde jsme zavedli

 

  je tzv. Lieova derivace   podle pole  . Veličina   se v užším kontextu, kde uvažujeme jako souřadnici jenom čas, označuje jako izochronní variace.

Diferencováním získáme

 

což lze pomocí per partes a Gaussovy věty jako

 

Pokud se dá   vyjádřit jako   a má platit pro všechna   a zároveň platí  , získáme k rovnic

 

což jsou hledané zákony zachování.

Zákon zachování energieEditovat

Nyní uvažujme pouze soustavu hmotných bodů, které se nacházejí v potenciálu, který závisí jen na jejich vzájemné poloze. Lagrangián je tedy dán jako

   
 

Roli souřadnice zde hraje jen čas t, zatímco polohy   hrají roli zkoumaných veličin výše označených jako  . Protože nás zajímá infinitezimální transformace spojená s posunem v čase, zvolíme

 
 
 

Z toho dopočteme

 

Povšimněme si, že   je nenulové, zatímco   jsou nulové - o symetrie spojené s posunem v prostoru se nyní nezajímáme. Zákon zachování tedy dostáváme ve tvaru

 

což po dalších úpravách

 
 

přejde na hledaný zákon zachování energie.

Související článkyEditovat