Algebraické číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Prohození šablon; kosmetické úpravy |
Funkce návrhy odkazů: Přidány 3 odkazy. |
||
Řádek 1:
'''Algebraické číslo''' je každé [[komplexní číslo]], které je kořenem nějakého [[polynom]]u (mnohočlenu) s [[racionální číslo|racionálními]] koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé [[racionální číslo]] je algebraické. [[Iracionální číslo]] <math>\sqrt 2</math> je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice <math>x^2-2=0</math>. Naopak [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] <math>\pi</math> algebraické není, což dokázal roku [[1882]] [[Ferdinand von Lindemann]]. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.
Z poznatků [[algebra|algebry]] a [[geometrie]] plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty [[Úsečka|úsečky]], jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je [[kvadratura kruhu]], [[trisekce úhlu]] či [[duplikace krychle]].
Analogie algebraického čísla pro jiná [[těleso (algebra)|tělesa]] než racionální čísla se nazývá [[algebraický prvek]].
== Vlastnosti ==
* [[Součet]], [[rozdíl]], [[součin]] a [[Dělení|podíl]] algebraických čísel je opět algebraické číslo (vyjma [[dělení nulou]]), algebraická čísla jsou tedy na těchto operacích uzavřená a [[množina]] všech algebraických čísel tak tvoří [[Těleso (algebra)|těleso]] (splnění ostatních požadovaných vlastností operací kromě uzavřenosti vyplývá obecně z vlastností operací s komplexními čísly).
* Kořeny polynomu, jehož koeficienty jsou algebraická čísla, jsou opět algebraická čísla.
* Algebraických čísel je [[spočetná množina|spočetně mnoho]].
| |||