Přímá a nepřímá úměrnost: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Nepřímá úměrnost: upřesněné popisky obrázků, zdroj značka: přepnuto z Vizuálního editoru |
Články byly sloučeny, ale zůstaly nepřesnosti. Ostraněni nepřesností, formálně sjednocen popis pro obě úměrnosti, kvalitní obrázky, přídání fyzikálních aplikací. Problematika záporného koeficientu přímé úměrnosti vyřešena pomocí sekce věnované kladným hodnotám veličin. |
||
Řádek 1:
'''Úměrností''' je v [[Matematika|matematice]] závislost, která zachovává [[Konstanta|konstantní]] [[poměr]] (přímá úměrnost) nebo součin (nepřímá úměrnost) dvou veličin. V běžném životě i ve fyzikálních zákonech se jedná o nejběžnější funkční závislosti.
▲| titul = Přímá a nepřímá úměrnost
== Přímá úměrnost ==
[[File:Prima umernost.svg|thumb|Graf přímé úměrnosti pro různé hodnoty koeficientu přímé úměrnosti.]]
''Přímá úměrnost'' je taková závislost jedné [[Veličina|veličiny]] na druhé, kdy změna hodnoty jedné veličiny násobkem vyvolá změnu i hodnoty druhé veličiny stejným násobkem. Obecně lze takovou závislost popsat vzorcem <math>y = {k \cdot x},</math>kde konstanta <math>{k}</math> je koeficient přímé úměrnosti či '''konstanta úměrnosti'''. Pro <math>k>0</math> se jedná o rostoucí přímou úměrnost, pro ''<math>k<0</math>'' se jedná o klesající přímou úměrnost.▼
▲''Přímá úměrnost'' je taková závislost jedné [[Veličina|veličiny]] na druhé, kdy změna hodnoty jedné veličiny násobkem vyvolá změnu i hodnoty druhé veličiny stejným násobkem. Obecně lze takovou závislost popsat vzorcem <math display="block">y = {k \cdot x},</math> kde konstanta <math>{k}</math> je [[reálné číslo]] různé od [[Nula|nuly]] a nazývá se koeficient přímé úměrnosti či '''konstanta úměrnosti'''. Pro <math>k>0</math> se jedná o rostoucí přímou úměrnost, pro ''<math>k<0</math>'' se jedná o klesající přímou úměrnost.
* Platba za nákup jablek je veličina, která je ''přímo úměrná'' množství těchto jablek. Kolikrát více jablek obsahuje nákup, tolikrát více se za nákup zaplatí. Například zakoupení dvojnásobného množství jablek vyžaduje zaplatit dvakrát více peněz. Konstantou úměrnosti je zde cena za jednotkové množství jablek.
Někdy se slovo "přímá" vynechává a jsou-li dvě veličiny považovány za úměrné, znamená to, že mezi nimi platí přímá úměrnost.▼
* Vzorec <math>S=\pi r^2</math>pro obsah <math>S</math> [[Kruh|kruhu]] o poloměru <math>r</math> je možno vyjádřit slovně tak, že obsah je ''(přímo) úměrný druhé mocnině'' poloměru. Konstantou úměrnosti je hodnota <math>\pi</math>, kterou je v tomto kontextu možno interpretovat jako obsah kruho o jednotkovém poloměru.
* Vzorec <math>V=\frac 13\pi r^2 v</math> pro objem <math>V</math> [[Kužel|kužele]] o výšce <math>v</math> a poloměru podstavy <math>r</math> je možno vyjádřit slovně tak, že objem je ''(přímo) úměrný výšce kužele a druhé mocnině poloměru podstavy''. Konstantou úměrnosti je hodnota <math>\frac 13 \pi</math>, kterou je v tomto kontextu možno interpretovat jako objem kužele o jednotkové výšce a s podstavou o jednotkovém poloměru.
* [[Graf (funkce)|Grafem]] přímé úměrnosti je [[přímka]] procházející bodem [0;0]. Konstanta úměrnosti je [[Směrnice přímky|směrnicí]] této přímky. Pokud je konstanta úměrnosti kladná, je přímka [[Rostoucí funkce|rostoucí]], je-li záporná, je přímka [[Klesající funkce|klesající]].
▲* Někdy se slovo "přímá" vynechává a jsou-li dvě veličiny považovány za úměrné, znamená to, že mezi nimi platí přímá úměrnost.
* Jsou-li dvě veličiny ve vztahu přímé úměrnosti, je jejich podíl konstantní a roven konstantě této přímé úměrnosti.
== Nepřímá úměrnost ==
[[
''Neřímá úměrnost'' je taková závislost jedné [[Veličina|veličiny]] na druhé, kdy změna hodnoty jedné veličiny násobkem vyvolá změnu i hodnoty druhé veličiny převrácenou hodnotou tohoto násobku. Obecně lze takovou závislost popsat vzorcem <math display="block">y = \frac {k}{x},</math> kde konstanta <math>{k}</math> je [[reálné číslo]] různé od [[Nula|nuly]] a nazývá se koeficient nepřímé úměrnosti či '''konstanta nepřímé neúměrnosti'''. [[Definiční obor]] této funkce je [[množina]] všech nenulových reálných čísel.
=== Příklady nepřímé úměrnosti ===
* [[Čas]] potřebný k překonání dané pevné [[Vzdálenost|vzdálenosti]] rovnoměrným pohybem je nepřímo úměrný [[Rychlost|rychlosti]]. Kolikrát větší rychlostí pohyb probíhá, tolikrát kratší je doba pro překonání zadané vzdálenosti.
* Čas potřebný k dokončení určitého úkolu je nepřímo úmerný [[Počet|počtu]] [[Osoba|osob]] či [[Stroj|strojů]], které daný úkol zpracovávají (za předpokladu, že pracují nezávisle a se stejným výkonem). Kolikrát více pracovníků úkol plní, tolikrát kratší dobu trvá splnění úkolu.
* [[Graf (funkce)|Grafem]] nepřímé úměrnosti je rovnoosá [[hyperbola]]. [[Soustava souřadnic|Osy]] <math>x</math> a <math>y</math> jsou [[Asymptota|asymptoty]] grafu této funkce.
* Funkce <math>y = {k \over x}</math> je na [[Interval (matematika)|intervalech]] <math>x\in(-\infty;0)</math> a <math>x\in(0;\infty)</math> [[Monotónní funkce|klesající]]
* Jsou-li dvě veličiny ve vztahu nepřímé úměrnosti, je jejich součin konstantní a roven konstantě této nepřímé úměrnosti.
== Úměrnosti mezi kladnými veličinami ==
▲=== Příklad ===
V praxi často pracujeme s kladnými veličinami. Potom '''přímá úměrnost''' je mezi veličinami, mezi kterými platí vztah "Kolikrát se zvětší <math>x</math>, tolikrát se ''zvětší'' <math>y</math>." Naopak '''nepřímá úměrnost''' je mezi veličinami, mezi kterými platí vztah "Kolikrát se zvětší <math>x</math>, tolikrát se ''zmenší'' <math>y</math>."
== Přímá a nepřímá úměrnost v přírodních zákonech ==
▲<math>y = {k \over x}</math> je na [[Interval (matematika)|intervalech]] <math>x\in(-\infty;0)</math> a <math>x\in(0;\infty)</math> [[Monotónní funkce|klesající]] pro <math>k > 0</math> a naopak [[Monotónní funkce|rostoucí]] pro <math>k < 0</math>.<ref name=pkucera>{{Citace elektronické monografie
Naprostá většina fyzikálních zákonů je ve formě přímé nebo nepřímé úměrnosti mezi veličinami nebo mezi jejich mocnimani. To vyplývá z rozměrové analýzy a [[Buckinghamův π teorém|Buckinghamova π teorému]]. Některé přímé úměrnosti jsou důsledkem [[lineární aproximace]] obecných vztahů. Sem patří například většina [[Konstituční zákon|konstitučních zákonů]], kdy přímá úměrnost mezi veličinami platí pouze za určitých podmínek nebo do dosažení určitých mezních hodnot.
▲=== Poznámka ===
* Gravitační síla s jakou se přitahují dva hmotné body je podle [[Newtonův gravitační zákon|Newtonova gravitačního zákona]] ''přímo úměrná'' hmotnostem obou bodů a ''nepřímo úměrná'' druhé mocnině jejich vzdálenosti. Konstanta úměrnosti udává sílu mezi hmotnými body o jednotkové hmotnosti vzdálenými od sebe o jednotku délky. Nazývá se gravitační konstanta.
* Podle [[Newtonovy pohybové zákony|druhého Newtonova pohybového zákona]] je [[zrychlení]] tělesa vystaveného působící síle přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné [[Hmotnost|hmotnosti]] tělesa. Konstanta úměrnosti závisí na volbě jednotek, v jednotkách [[Soustava SI|SI]] je takto konstanta rovna jedné.
* Přímou úměrnost je možno rozšířit i na vztah mezi vektorovými veličinami. Potom je možno uvažovat konstantu úměrnosti jako skalární veličinu, nebo jako [[tenzor]] druhého řádu. Tímto pohledem jsou ve formě přímé úměrnosti všechny [[Konstituční zákon|konstituční zákony]] vyjadřující, jak materiál reaguje na vnější podnět při vedení tepla, proudění podzemní vody, difuzi, atd.
* Přímou úměrnost je možno rozšířit i na vztah mezi tenzory druhého řádu. Konstantou úměrnosti poté může být buď skalární hodnota nebo tenzor čtvrtého řádu. Takto je formulován například [[Hookův zákon|obecný tvar Hookova zákona]].
== Odkazy ==
=== Související články ===
Řádek 48 ⟶ 53:
* [[Převrácená hodnota]]
* [[Hyperbola]]
* [[Konstituční zákon]]
{{Portály|Matematika}}
| |||