Wikipedie

Stupeň tělesového rozšíření: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
JAnDbot (diskuse | příspěvky)
Roboti
1 716 378 editací
m robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy
Řádek 1:
'''Stupeň tělesového rozšíření''' je v [[matematika|matematice]], zejména [[teorie těles|teorii těles]], koncept zachycující jakousi „velikost“ [[tělesové rozšíření|tělesového rozšíření]]. Je důležitý a používaný zejména v [[Abstraktní algebra|abstraktní algebře]] a [[teorie čísel|teorii čísel]], ale vyskytuje se i jinde, kde se více pracuje s [[Těleso (algebra)|tělesy]].
 
== Definice a značení ==
Řádek 9:
 
== Násobitelnost stupňů rozšíření ==
Pokud jsou tři tělesa uspořádána do ''[[věž těles|věže]]'', tedy ''S'' je podtělesem ''T'' a ''T'' je podtělesem ''R'', pak existuje jednoduchý vztah mezi stupni rozšíření ''R''/''T'', ''T''/''S'' a ''R''/''S'', totiž:
:<math>[R:S]=[R:T]\cdot[T:S]</math>
Jinými slovy řečeno, stupeň rozšíření mezi „největším“ a „nejmenším“ tělesem je součinem stupně „největšího“ nad „středním“ se stupněm „středního“ nad „nejmenším“. Jedná se tedy o podobný vztah, který v [[teorie grup|teorii grup]] pro [[řád grupy|řády grup]] uvádí [[Lagrangeova věta (teorie grup)|Lagrangeova věta]] — hlubší souvislost mezi těmito vztahy odhaluje [[Galoisova teorie]].
 
Vzorec platí nejen pro rozšíření konečného stupně, ale i pro nekonečná rozšíření. V takovém případě je možné jeho součin chápat jako součin [[kardinální číslo|kardinálních čísel]]. Tedy například platí, že je-li ''R''/''S'' konečné, jsou konečná i rozšíření ''T''/''S'' a ''R''/''T''.
 
Pokud je ''R''/''S'' konečné, pak vzorec poměrně výrazně omezuje, jaká tělesa mohou existovat „mezi“ ''R'' a ''S'', a to na základě jednoduché aritmetiky. Například je-li [''R'':''S''] [[prvočíslo]], pak každé mezitěleso ''T'' musí splňovat buď [''R'':''T''] = 1 (ale pak tedy ''R''=''T''), nebo [''T'':''S'']=1 (ale pak tedy ''T''=''S''). Jinými slovy, žádné vlastní mezitělesa v takovém případě existovat nemohou.
 
=== Důkaz pro konečná rozšíření ===
''R'', ''T'' a ''S'' je věž těles uvedená výše a že ''d''= [''T'':''S''] a ''e''=[''R'':''T''] jsou konečná. To podle definice stupně rozšíření znamená, že je možno zvolit konečné [[báze (algebra)|báze]], {''u''<sub>1</sub>, …, ''u''<sub>''d''</sub>} pro ''T'' nad ''S'' a {''w''<sub>1</sub>, …, ''w''<sub>''e''</sub>} pro ''R'' nad ''T''. Jak se ukáže, tak prvky ''u''<sub>''m''</sub>''w''<sub>''n''</sub> pro ''m'' od jedné do ''d'' a ''n'' od jedné do ''e'' tvoří bázi ''R'' nad ''S''. Ta udává dimenzi ''R''/''S'' a protože je jich právě ''d·e'', bude tímto důkaz hotov.
 
Nejprve důkaz, že [[lineární obal|lineárním obalem]] daných prvků je skutečně celé ''R''/''S''. Je-li ''x'' prvek ''R'', pak je možné jej zapsat jako nějakou [[lineární kombinace|lineární kombinaci]] prvků z {''w''<sub>1</sub>, …, ''w''<sub>''e''</sub>}, tedy existují prvky ''a''<sub>''n''</sub> z ''T'' takové, že
: <math> x = \sum_{n=1}^e a_n w_n = a_1 w_1 + \cdots + a_e w_e.</math>
Protože prvky ''u''<sub>''m''</sub> zase tvoří bázi ''T'' nad ''S'', pro každé ''n'' lze najít ''b''<sub>''m'',''n''</sub>, že
Řádek 28:
což ukazuje, že ''x'' lze napsat jako lineární kombinaci ''u''<sub>''m''</sub>''w''<sub>''n''</sub> koeficientů z ''S'', tedy lineárním obalem zmíněných prvků je skutečně celé ''R''.
 
Zbývá dokázat, že ''u''<sub>''m''</sub>''w''<sub>''n''</sub> jsou [[lineární závislost|lineárně nezávislé]] nad ''S''. Předpokládejme
: <math> 0 = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n)</math>
pro nějaké koeficienty ''b''<sub>''m'',''n''</sub> z ''S''. Pomocí distributivity a asociativity můžeme rovnost přepsat jako
: <math> 0 = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n,</math>
a vidíme, že výrazy v kulatých závorkách musí být nulové, neboť se jedná o prvky ''T'' a ''w''<sub>''n''</sub> jsou v ''T'' lineárně nezávislé.
Řádek 39:
== Příklady ==
* Těleso [[komplexní číslo|komplexních čísel]] je tělesovým rozšířením tělesa [[reálné číslo|reálných čísel]] stupně ['''C''':'''R''']=2. Z toho vyplývá, že „mezi“ nimi už žádné netriviální těleso být nemůže.
* [[Konečné těleso]] '''GF'''(5<sup>3</sup>) je stupně tři nad svým podtělesem '''GF'''(5). Dokonce obecně platí, že je-li ''p'' prvočíslo a a ''m'' a ''n'' jsou kladná přirozená čísla, přičemž ''n'' dělí ''m'', pak ['''GF'''(''p''<sup>''m''</sup>):'''GF'''(''p''<sup>''n''</sup>)] = ''m''/''n''.
* Tělesové rozšíření '''C'''(''T'')/'''C''', kde '''C'''(''T'') je těleso [[racionální funkce|racionálních funkcí]] nad tělesem '''C''', je nekonečného stupně. To je vidět z toho, že funkce 1, ''T'', ''T''², … jsou lineárně nezávislé nad '''C'''.
 
== Odkazy ==
 
=== Reference ===
{{překlad|en|Degree of a field extension|445784125}}
 
=== Literatura ===
* {{Citace monografie
| příjmení = Bican
Řádek 56 ⟶ 58:
| isbn = 80-200-0860-8
}}
{{Autoritní data}}
 
[[Kategorie:Tělesová rozšíření]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Stupeň_tělesového_rozšíření“