Okolí (matematika): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
oprava překlepu značka: editace z Vizuálního editoru |
m {{Commonscat}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 3:
== Neformální úvod ==
Pojem '''okolí''' byl nejprve studován na množině reálných číslech, poté však byl zobecněn na mnohem širší okruh množin. Reálná i komplexní čísla jsou [[Metrický prostor|metrickým prostorem]] a každý metrický prostor je [[Topologický prostor|topologickým prostorem]]. Proto ze všech níže uvedených definice je topologická definice nejobecnější (má smysl na širším okruhu množin než ty zbývající).
▲Pojem '''okolí''' byl nejprve studován na množině reálných číslech, poté však byl zobecněn na mnohem širší okruh množin. Reálná i komplexní čísla jsou [[Metrický prostor|metrickým prostorem]] a každý metrický prostor je [[Topologický prostor|topologickým prostorem]]. Proto ze všech níže uvedených definice je topologická definice nejobecnější (má smysl na širším okruhu množin než ty zbývající).
Všechny níže uvedené definice jsou ekvivalentní v tom smyslu, že pokud má na nějaké struktuře smysl více než jedna z níže uvedených definice pojmu okolí nebo ε-okolí, pak tyto definice splývají. Například na množině je 1-okolí bodu 3 v metrickém smyslu totožná s 1-okolí bodu 3 podle definice pro reálná čísla.
== Vztah okolí k ε-okolí ==
Ve všech níže uvedených případech, kdy definujeme ε-okolí, platí, že množina ''A'' je ''okolím'' bodu ''x'', pokud obsahuje jeho ε-okolí pro nějaké ε > 0. Například interval (2.9 , 3.1) je 0.1-okolím bodu 3 a tedy je jeho okolím.
Řádek 25 ⟶ 23:
== ε-okolí v metrických prostorech ==
V [[metrický prostor|metrickém prostoru]] <math>X</math> máme pomocí metriky <math>d</math> definovánu vzdálenost bodů a zavádíme <math>\epsilon</math>-okolí bodu <math>x</math> jako
:<math>U_{\epsilon} (x) = \{y \in X: d(x, y) < \epsilon \}</math>
Řádek 33 ⟶ 31:
Protože vnitřek množiny je její největší otevřená podmnožina, je množina <math>U(x)</math> okolí bodu <math>x</math> právě tehdy, když <math>x</math> leží v jejím vnitřku.
== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Portály|Matematika}}
| |||