Verze z 9. 12. 2020, 00:10 editovat 194.228.32.239 (diskuse) →‎Kofaktorová metoda značka: editace z Vizuálního editoru ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 9. 12. 2020, 00:27 editovat zrušit editaci 194.228.32.239 (diskuse) →‎Matice vyšších řádů značka: editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 35: === Matice vyšších řádů === I v [[reálný prostor\|reálných prostorech]] (euklidovských) vyšších ~~řádů~~dimenzí lze determinant chápat jako (orientovaný) objem obecného [[n-rozměrný prostor\|''n''-rozměrného]] [[rovnoběžnostěn]]u, a jeho znaménko jako indikátor orientace (pravotočivosti, respektive levotočivosti) posloupnosti vektorů '''b'''<sub>1</sub>,'''b'''<sub>2</sub>,…,'''b'''<sub>n</sub>. == Všeobecná definice a výpočet == Řádek 91: == Vlastnosti == * Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky zaa sloupce. Determinant matice <math>\mathbf{A}</math> je tedy roven determinantu [[transponovaná matice\|transponované matice]] <math>\mathbf{A}^T</math>, tzn.▼ * Pokud lze prvky ''i''-tého řádku psát jako <math>c \cdot a_{ij}</math>, pak platí▼ :<math>\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^T</math>. ▲* Pokud lze prvky ''i''-tého řádku psát jako <math>c \cdot a_{ij}</math>, pak platí :<math>\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ Řádek 104 ⟶ 106: \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math>, :tzn. determinant je '''homogenní''' funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců). Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici <math>\mathbf{B}</math>, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice <math>\mathbf{A}</math> řádu <math>n</math> číslem <math>c</math>, tzn. <math>b_{ij} = c \cdot a_{ij}</math>. Pak platí :<math>\det \mathbf{B} = c^n \det \mathbf{A}</math> Řádek 123 ⟶ 125: \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math>, :tzn. determinant je '''aditivní''' ~~funkce~~funkcí svých řádků (i sloupců). * Spolu s výše uvedenou homogenitou to znamená, že determinant je [[Multilineární forma\|multilineární formou]] svých řádků i sloupců. * Determinant je '''antisymetrický''' vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné. Jedná se tedy o '''alternující''' formu. * Z předchozí vlastnosti plyne, že pokud má matice <math>\mathbf{A}</math> dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce (a není nad tělesem charakteristiky 2), tak musí platit <math>\det \mathbf{A} = - \det \mathbf{A} = 0</math>. * Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako [[lineární kombinace\|lineární kombinaci]] ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový. * Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven [[nula\|nule]]. * Determinant matice '''A''', kterou získáme z matice '''B''' tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice '''B''' přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice '''B''', je roven determinantu matice '''B''', tzn. <math>\det \mathbf{A} = \det \mathbf{B}</math>. Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění. * Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má příslušný rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují [[Vektorový prostor\|prostor]] [[Dimenze vektorového prostoru\|dimenze]] nižší, než je ~~rozměr~~řád matice. Taková matice se nazývá [[singulární matice\|singulární]]. Naopak matice, jejíž determinant je nenulový, ~~se nazývá~~je [[regulární matice\|regulární]]. ▲* Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice <math>\mathbf{A}</math> je tedy roven determinantu [[transponovaná matice\|transponované matice]] <math>\mathbf{A}^T</math>, tzn. :* '''Součinem determinantů''' <math>\det \mathbf{A}</math> =a <math>\det \mathbf{AB}^T</math>. je determinant <math>\det \mathbf{C}</math>, pro který platí * Součinem determinantů <math>\det \mathbf{A}</math> a <math>\det \mathbf{B}</math> je determinant <math>\det \mathbf{C}</math>, pro který platí :<math>\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Řádek 150 ⟶ 151: :<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}</math>, tzn. násobí se řádky matice '''A''' se sloupci matice '''B''', :<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}</math>, tzn. násobí se sloupce matice '''A''' se sloupci matice '''B'''. :~~Speciálně~~Platí ~~platí~~tedy pro '''determinant součinu''' matic, že je roven součinu jejich determinantů, :<math>\det \mathbf{(AB)}=\det \mathbf{(BA)}=\det \mathbf{A}\cdot\det \mathbf{B}.</math> * Determinant v [[Eukleidovský prostor\|euklidovském prostoru]] je '''pseudoskalár''', při změně ortonormální báze mění znaménko podle toho, jestli se mění orientace báze či nikoliv. == Odkazy ==

Determinant: Porovnání verzí