'''<math>\sigma</math>-algebra''' ('''sigma-algebra''', též <math>\sigma</math>-těleso) je v [[matematika|matematice]] libovolný neprázdný [[systém množin]], který je uzavřený na [[spočetná množina|spočetné]] [[sjednocení]] a na [[rozdíl množin|rozdíl]] dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix <math>\sigma</math> v názvu vyjadřuje uzavřenost na [[Spočetná množina|''spočetné'']] sjednocení.
V [[teorie míry|teorii míry]] se <math>\sigma</math>-algebra nazývá '''měřitelný prostor'''.
'''Měřitelná množina''' je každá množina ze systému množin tvořících <math>\sigma</math>-algebru (tj. každý prvek <math>\mathcal{A}</math> v níže uvedené definici).
== Formální definice ==
[[Uspořádaná n-tice|Uspořádanou dvojici]]Systém <math>(\Omega,\mathcal{A})</math>,kde <math>\Omega</math> je libovolná množinapodmnožin amnožiny <math>\mathcal{A} \subseteq \mathcal{POmega}(\Omega)</math> je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme '''<math>\sigma</math>-algebrou''', jestliže <math>\mathcal{A}</math> obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.
# <math>\emptyset\in\mathcal{A}</math>
Řádek 20 ⟶ 16:
== Použití ==
Koncept <math>\sigma</math>-algebry je důležitý především v [[teorie míry|teorii míry]], kde se nazývá '''měřitelný prostor''', a v [[teorie pravděpodobnosti|teorii pravděpodobnosti]]. ''[[Míra (matematika)|Míra]]'' je libovolná nezáporná množinová funkce, která je [[Míra (matematika)|<math>\sigma</math>-aditivní]] a má na [[prázdná množina|prázdné množině]] hodnotu 0. ''[[Pravděpodobnost]]'' je míra, která má na univerzální množině <math>\Omega</math> hodnotu 1.
== Měřitelná množina ==
JestližeV [[teorie míry|teorii míry]] se dvojice <math>(\Omega,\mathcal{A}) </math>, kde <math>\Omega</math> je libovolná množina a <math>(\Omega,\mathcal{A})</math> je <math>\sigma</math>-algebra,pakna <math>\Omega</math> nazývá '''měřitelná[[měřitelný množinaprostor]]''' jea libovolná množina, která patří domnožiny <math>\mathcal{S} \in \mathcal{A}</math> nazýváme '''měřitelné množiny'''.
