Posloupnost: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Ponechání minima informací o číselných posloupnostech |
+Posloupnosti v topologických prostorech a další doplňky |
||
Řádek 11:
Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny [[Komplexní číslo|komplexních]] nebo [[Reálné číslo|reálných čísel]]).
Posloupnost značíme obvykle (podobně jako uspořádanou n-tici) <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math>, <math>\left [ {a_n} \right ]_{n=1}^\infty</math>, <math>(a_n)</math> nebo (pokud nemůže dojít k záměně s jiným značením) pouze <math>a_n</math>. Čteme „posloupnost á en pro en (jdoucí) od jedné do nekonečna“.
Posloupnost může být určena výrazem (předpisem), který vyjadřuje přímo ''n''-tý člen posloupnosti <math>a_n</math>, např. <math>a_n = \frac{n}{n+1}</math> odpovídá posloupnosti <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \cdots</math>
Řádek 31:
== Vybraná posloupnost ==
Je-li <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> posloupnost (obecně [[reálné číslo|reálných]]) čísel a <math>(k_n)_{n=1}^\infty</math> rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz <math>(a_{k_n})_{n=1}^\infty</math> nazýváme ''posloupnost vybraná'' (též ''podposloupnost'') ''z <math>a_n</math>'' (jinými slovy, z <math>a_n</math> vybereme některé členy, např. všechny [[Sudá a lichá čísla|liché]]).
== Posloupnosti v topologických prostorech ==
Posloupnosti hrají důležitou roli v [[Topologický prostor|topologii]], zvláště ve studiu [[Metrický prostor|metrických prostorů]]. Například:
* [[Metrický prostor]] je [[kompaktní prostor|kompaktní]] právě tehdy, když je [[sekvenčně kompaktní prostor|sekvenčně kompaktní]].
* Funkce z metrického prostoru do jiného metrického prostoru je [[spojitá funkce|spojité]] právě tehdy, když obrazem každé [[Konvergentní posloupnost|konvergentní posloupnosti]] je [[konvergentní posloupnost]].
* Metrický prostor je [[souvislá množina|souvislý]] právě tehdy, když při každém rozdělení prostoru na dvě množiny, existuje v jedné z těchto množin posloupnost, která konverguje k bodu ve druhé z množin.
* [[Topologický prostor]] je [[separabilní prostor|separabilní]] právě tehdy, když existuje hustá posloupnost bodů.
Posloupnosti lze zobecnit na [[Síť (matematika)|sítě]] nebo [[filtr (matematika)|filtry]]. Tato zobecnění nám umožňují rozšířit některé z výše uvedených vět na prostory bez metriky.
== Odkazy ==
=== Reference ===
{{Překlad|en|Sequence|937871334}}
=== Související články ===
| |||