Náhodná veličina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Robot: Opravuji 1 zdrojů a označuji 0 zdrojů jako nefunkční) #IABot (v2.0 |
Odstupňování formálnosti definic, definice výběrového prostoru |
||
Řádek 1:
'''Náhodná veličina''' (používají se i různé kombinace slov '''náhodná''', '''stochastická''' nebo '''náhodová''' a '''proměnná''' nebo '''veličina''') je libovolná [[veličina]], kterou je možné opakovaně měřit u různých objektů, v různých místech nebo v různém čase a její hodnoty podrobit zpracování metodami [[teorie pravděpodobnosti]] nebo [[Matematická statistika|matematické statistiky]]. Příkladem může být počet ok při vrhu kostkou, teplota naměřená na určitém místě ve stejnou hodinu v různých dnech, roční mzda jednotlivých občanů státu, apod.
== Definice ==
=== Formální definice ===▼
Formální definice zahrnuje i agregované náhodné proměnné, jako jsou [[Náhodný vektor|náhodné vektory]], [[Náhodná matice|náhodné matice]], [[Náhodná posloupnost|náhodné posloupnosti]] a [[Náhodný proces|náhodné procesy]].
▲== Formální definice ==
Nechť:
* <math>(\Omega,\mathcal{F},P)</math> je [[pravděpodobnostní prostor]]; to znamená, že
** <math>\Omega</math> je libovolná [[neprázdná množina]] ([[Prostor elementárních jevů|'''množina elementárních jevů''']] zvaná též '''výběrový prostor'''),
** <math>\mathcal{F}</math> je libovolný [[Potenční množina|systém podmnožin]] <math>\Omega</math>, který tvoří [[Sigma algebra|<math>\sigma</math>-algebru]], a
** <math>P</math> je [[pravděpodobnost]], čili [[Teorie míry|míra]] na <math>(\Omega,\mathcal{F})</math> (tj. zobrazení, které každé podmnožině <math>\Omega</math>, která je zároveň prvkem <math>\mathcal{F}</math>, přiřadí nezáporné reálné číslo), která je normovaná tak, že <math>P(\Omega) = 1</math>
* <math>(E,\mathcal{B})</math> je [[měřitelný prostor]] s [[Borelovská sigma algebra|borelovskou <math>\sigma</math>-algebrou]] podmnožin <math>\mathcal{B}</math>; zpravidla se jako <math>E</math> používá množina všech [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math>\mathbb{R}</math> nebo nějaká její vhodná [[podmnožina]].
'''Náhodnou veličinou''' pak nazýváme každé [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] z [[Prostor elementárních jevů|prostoru elementárních jevů]] <math>\Omega</math> do [[Měřitelný prostor|měřitelného prostoru]] <math>E</math>, tj. <math>X: \Omega \to E</math>, pokud je [[Měřitelná funkce|měřitelné]], t.j. pokud pro každou množinu <math>B \in \mathcal{B}</math> platí, že <math>\lbrace \omega; \omega \in \Omega, X(\omega) \in B \rbrace \in \mathcal{F}</math>
=== Jednoduchá náhodná veličina ===
V <blockquote> Náhodnou veličinu lze jednoduše charakterizovat jako veličinu, jejíž hodnoty závisí na náhodě.
== Náhodné veličiny diskrétního typu ==
Náhodná veličina je diskrétního typu, pokud množina <math>E</math> je [[Konečná množina|konečná]] nebo [[Spočetná množina|spočetná]]. Hodnoty náhodné proměnné lze pak psát ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …''.
Pro pochopení této problematiky je potřeba znát [[pravděpodobnost]]ní zákony rozdělení a základní charakteristiky [[Rozdělení pravděpodobnosti#Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny|diskrétních náhodných veličin]]. Rovněž s tímto tématem úzce souvisí důležitá rozdělení diskrétních náhodných veličin (binomické, hypergeometrické, geometrické a Poissonovo).▼
Pokud je množina <math>E</math> je [[Konečná množina|konečná]], je možné říct, že
Je-li výběrový prostor konečný, lze použít náhodnou veličinu, která přiřazuje jednotlivým elementárním jevům přirozená čísla, pak lze hodnoty ''x<sub>k</sub>'' označovat pouze symbolem ''k''.
▲Pro pochopení této problematiky je potřeba znát [[pravděpodobnost]]ní zákony rozdělení a základní charakteristiky [[Rozdělení pravděpodobnosti#Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny|diskrétních náhodných veličin]]. Rovněž s tímto tématem úzce souvisí důležitá rozdělení diskrétních náhodných veličin (binomické, hypergeometrické, geometrické a Poissonovo).
Mezi pravděpodobnostní zákony diskrétního rozdělení patří '''[[pravděpodobnostní funkce]]''', která nese označení ''P (X = x<sub>k</sub>)'', kde x<sub>k</sub> jsou její hodnoty v číslech. Platí, že ve výběrovém prostoru mají prvky součet svých pravděpodobností roven jedné, potom součet všech hodnot pravděpodobnostní funkce je také roven jedné, tj. ''∑P (X= x<sub>k</sub>)= 1''.
Řádek 96 ⟶ 109:
:<math>D(X) = \lambda </math> <ref name=":1" />
== Náhodné veličiny
Náhodné veličiny [[spojitá funkce|spojitého typu]] jsou charakterizovány následovně:<blockquote>Náhodná veličina X je spojitá, jestliže její hodnoty, přiřazené prvkům výběrového prostoru Ω, tvoří interval na ose reálných čísel, přičemž každý bod toho intervalu má nulovou pravděpodobnost.<ref name=":3">{{Citace monografie|příjmení = Kropáč|jméno = Jiří|příjmení2 = |jméno2 = |titul = Statistika A: náhodné jevy, náhodné veličiny, náhodné vektory, indexní analýza, rozhodování za rizika|vydání = 3. dopl |vydavatel = Fakulta Podnikatelská, VUT v Brně|místo = Brno|rok = 2008|počet stran = 139|strany = |isbn = 978-80-214-3587-2}}</ref></blockquote>Pravděpodobnostním zákonem, pomocí kterého budeme spojitou náhodnou veličinu popisovat, je [[Rozdělení_pravděpodobnosti#Hustota pravděpodobnosti|hustota pravděpodobnosti]], označována ''f (x)'', která vypovídá o tom, jak jsou jednotlivé hodnoty spojité náhodné veličiny X „nahuštěny“ na ose reálných čísel v okolí bodu ''x''.
Další funkcí, které se pro popis spojité náhodné veličiny používá, je funkce distribuční značená ''F (x)'', která je rovna [[pravděpodobnost]]i P ''(X≤x )''. Charakterizovat ji lze jako funkci, která při postupu po ose reálných čísel „sčítá“ pravděpodobnosti. Pomocí hustoty pravděpodobnosti vyjádříme spojitou náhodnou veličinu ''X'' integrálem<ref name=":3" />
| |||