Rozdělení pravděpodobnosti: Porovnání verzí

bez shrnutí editace
'''Rozdělení pravděpodobnosti''' nebo '''rozložení pravděpodobnosti''' (někdy také '''distribuce pravděpodobnosti''') [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] je pravidlo, kterým se každému [[náhodný jev|jevu]] popisovanému touto veličinou přiřazujemepřiřazuje určitouurčitá [[pravděpodobnost]]. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny tedy získámevznikne, pokud je každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř.nebo intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadímepřiřazena pravděpodobnost.
 
Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které každému [[elementární jev|elementárnímu jevu]] přiřazuje určité [[reálné číslo]], které charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu.
 
=== Pravděpodobnostní funkce ===
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny se tedy vyjádřímevyjádří tak, že určímese určí pravděpodobnost <math>P(x)</math> pro všechna <math>x</math> definičního oboru veličiny <math>X</math>. Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot <math>x</math> jsou tedy vyjádřeny [[funkce (matematika)|funkcí]] <math>P(x)</math>, kteroukterá označujemese jakonazývá '''pravděpodobnostní funkcifunkce'''.
 
[[Soubor:Rozdeleni pravdepodobnosti diskretni 2.svg|náhled|Demonstrace diskrétního rozdělení pravděpodobnosti]]
|-
|}
NeboTaké se také používá vyjádření ve formě [[graf (funkce)|grafu]] (viz [[:Soubor:Rozdeleni pravdepodobnosti diskretni.svg|obrázek]]). V&nbsp;některých případech lze také použít vyjádření pomocí matematického vzorce.
 
Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k&nbsp;výpočtu pravděpodobnosti. Např.Například pravděpodobnost, že náhodná veličina <math>X</math> leží mezi hodnotami <math>x_1</math> a <math>x_2</math>, určímese určí jako
:<math>P[x_1\leq X\leq x_2] = \sum_{x=x_1}^{x_2} P(x)</math>
 
=== Distribuční funkce diskrétní veličiny ===
Pomocí pravděpodobnostní funkce můžemelze zavést tzv. '''distribuční funkci''' vztahem
:<math>F(x) = P[X \le x]</math>
 
Spojitá náhodná veličina má spojitou [[distribuční funkce|distribuční funkci]] <math>F(x)</math>. Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v&nbsp;určitém bodě.
 
===Hustota pravděpodobnosti ===
JeHustota pravděpodobnosti je funkce, jejíž hodnotu pro libovolný zvolený prvek z &nbsp;množiny možných vzorků (hodnot náhodné proměnné) lze interpretovat jako relativní četnost hodnoty tohoto prvku v &nbsp;rámci celé množiny možných vzorků daného času.
 
Rozdělení pravděpodobnosti spojité [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] se určuje prostřednictvím [[funkce (matematika)|funkce]], kteroukterá označujemese jakonazývá '''hustota rozdělení pravděpodobnosti''' ('''hustota pravděpodobnosti''', {{Vjazyce|en}} {{Cizojazyčně|en|''Probability Density Function'', ''PDF''}}). Pro spojitou náhodnou veličinu obecně neplatí, že také hustota pravděpodobnosti je spojitá.
 
Je-li <math>\rho(x)</math> hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny <math>X</math>, pak platí
:<math>\int_\Omega \rho(x)\mathrm{d}x = 1 \,</math>,
kde <math>\Omega</math> je [[definiční obor]] veličiny <math>X</math>. Pro hodnoty <math>x</math> mimo definiční obor <math>\Omega</math> je hustota pravděpodobnosti [[nula|nulová]], tzn.takže <math>\rho(x)=0</math> pro <math>x\notin \Omega</math>.
 
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti <math>\rho(x)</math> lzeje možné určit [[pravděpodobnost]], že náhodná veličina <math>X</math> nabývá hodnotu z&nbsp;[[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle x_1,x_2\rangle</math>, tedy
:<math>P[x_1\leq X\leq x_2] = \int_{x_1}^{x_2} \rho(x)\mathrm{d}x</math>
 
Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako <math>1 - F(x)</math>.
 
Pro spojitou náhodnou veličinu s&nbsp;hustotou pravděpodobnosti <math>\rho(x)</math> lzese distribuční funkcifunkce dá spočítat také podle vztahu
:<math>F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \rho(t)\mathrm{d}t</math>
 
== Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti ==
=== Sdružená a marginální pravděpodobnost ===
Mějme <math>n</math>-rozměrný [[náhodný vektor]] <math>\mathbf{X}</math>, jehož složkami jsou diskrétní [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <math>X_i</math>. Jejich rozdělení lze popsat tzv. '''sdruženou (simultánní) pravděpodobností'''
:<math>P(\mathrm{x}) = P(x_1,x_2,...,x_n) = P[X_1=x_1\cap X_2=x_2\cap\cdots\cap X_n=x_n]</math>
Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina <math>X_1</math> nabude hodnotu <math>x_1</math>, náhodná veličina <math>X_2</math> nabude hodnoty <math>x_2</math>, atd. pro všechna <math>X_i</math> a <math>x_i</math>.
 
Pro <math>n=2</math> zobrazujeme sdružené pravděpodobnosti zobrazují v&nbsp;tzv. ''korelační tabulce''
 
Pro <math>n=2</math> zobrazujeme sdružené pravděpodobnosti v&nbsp;tzv. ''korelační tabulce''
{| class="wikitable"
|'''x'''
|}
 
Pravděpodobnosti <math>P_1(x_i)</math> a <math>P_2(y_j)</math> jsou tzv. '''marginální (okrajové) pravděpodobnosti'''. Platí tedy
:<math>P_1(x) = \sum_y P(x,y)</math>
:<math>P_2(y) = \sum_x P(x,y)</math>
:<math>F(\infty,\infty)=1</math>
Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.
 
 
'''Marginální (okrajové) distribuční funkce''' lze pro vektor dvou proměnných <math>X</math> a <math>Y</math> zapsat vztahy
:<math>\int_\Omega \left[\int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = 1</math>
 
'''Marginální hustoty pravděpodobnosti''' určímese určí jako
:<math>f_1(x) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}y</math>
:<math>f_2(y) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x</math>
 
Sdruženou distribuční funkci pak dostaneme jakoje
:<math>F(x,y) = \int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^yf(t,u)\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}u</math>
 
 
 
Podobně lze postupovat také v&nbsp;případě <math>n</math>-rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti je pak můžememožné získat jako
:<math>f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,...,x_n) = \frac{\partial^n F(x_1,x_2,...,x_n)}{\partial x_1\partial x_2\cdots\partial x_n}</math>
 
 
=== Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti ===
PodmíněnýmPodmíněné rozdělenímrozdělení náhodné veličiny <math>X</math> vzhledem k&nbsp;veličině <math>y</math> rozumímeje rozdělení veličiny <math>X</math> za podmínky, že náhodná veličina <math>Y</math> nabyla hodnoty <math>y</math>.
 
Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.
 
Pro dvě diskrétní náhodné veličiny <math>X, Y</math> můžemeje zapsatmožné podmíněnou pravděpodobnost veličiny <math>X</math> vzhledem k&nbsp;<math>Y</math> zapsat jako
 
Pro dvě diskrétní náhodné veličiny <math>X, Y</math> můžeme zapsat podmíněnou pravděpodobnost veličiny <math>X</math> vzhledem k&nbsp;<math>Y</math> jako
:<math>P(x|y)= \frac{P(x,y)}{P_2(y)}</math>
pro <math>P_2(y)\neq 0</math>, kde <math>P_2(y)</math> je marginální pravděpodobnost a <math>P(x,y)</math> je pravděpodobnost sdružená.
 
Obdobně dostanemevznikne pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny <math>Y</math> vzhledem k&nbsp;<math>X</math> vztah
 
Obdobně dostaneme pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny <math>Y</math> vzhledem k&nbsp;<math>X</math> vztah
:<math>P(y|x) = \frac{P(x,y)}{P_1(x)}</math>
pro <math>P_1(x)\neq 0</math>, kde <math>P_1(x)</math> je marginální pravděpodobnost a <math>P(x,y)</math> je opět sdružená pravděpodobnost.
 
==== Podmíněná hustota pravděpodobnosti ====
Máme-liU dvourozměrnýdvourozměrného [[náhodný vektor|náhodného vektoru]], jehož složkami jsou spojité náhodné veličiny <math>X</math> a <math>Y</math>, pak můžeme vyjádřitlze podmíněné hustoty pravděpodobnosti vyjádřit jako
:<math>f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_2(y)}</math>
pro <math>f_2(y)\neq 0</math> a
== Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny ==
{{viz též|Charakteristika náhodné veličiny}}
Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky nám o náhodné veličině poskytují pouze základní a hrubou představu o náhodné veličině, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k&nbsp;jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, obvykle však není dostatečně přehledné.
 
Důležitými charakteristikami rozdělení jsou [[střední hodnota]] a [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
 
 
== Literatura ==
 
{{Portály|Matematika}}
 
{{Autoritní data}}
 
Neregistrovaný uživatel