Rozdělení pravděpodobnosti: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Důležitá spojitá rozdělení: pravopis |
Bez shrnutí editace |
||
Řádek 1:
'''Rozdělení pravděpodobnosti''' nebo '''rozložení pravděpodobnosti''' (někdy také '''distribuce pravděpodobnosti''') [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] je pravidlo, kterým se každému [[náhodný jev|jevu]] popisovanému touto veličinou
Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které každému [[elementární jev|elementárnímu jevu]] přiřazuje určité [[reálné číslo]], které charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu.
Řádek 10:
=== Pravděpodobnostní funkce ===
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny se tedy
[[Soubor:Rozdeleni pravdepodobnosti diskretni 2.svg|náhled|Demonstrace diskrétního rozdělení pravděpodobnosti]]
Řádek 32:
|-
|}
Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti.
:<math>P[x_1\leq X\leq x_2] = \sum_{x=x_1}^{x_2} P(x)</math>
=== Distribuční funkce diskrétní veličiny ===
Pomocí pravděpodobnostní funkce
:<math>F(x) = P[X \le x]</math>
Řádek 65:
Spojitá náhodná veličina má spojitou [[distribuční funkce|distribuční funkci]] <math>F(x)</math>. Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě.
===Hustota pravděpodobnosti
Rozdělení pravděpodobnosti spojité [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] se určuje prostřednictvím [[funkce (matematika)|funkce]],
Je-li <math>\rho(x)</math> hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny <math>X</math>, pak platí
:<math>\int_\Omega \rho(x)\mathrm{d}x = 1 \,</math>,
kde <math>\Omega</math> je [[definiční obor]] veličiny <math>X</math>. Pro hodnoty <math>x</math> mimo definiční obor <math>\Omega</math> je hustota pravděpodobnosti [[nula|nulová]],
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti <math>\rho(x)</math>
:<math>P[x_1\leq X\leq x_2] = \int_{x_1}^{x_2} \rho(x)\mathrm{d}x</math>
Řádek 88:
Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako <math>1 - F(x)</math>.
Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti <math>\rho(x)</math>
:<math>F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \rho(t)\mathrm{d}t</math>
Řádek 117:
== Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti ==
=== Sdružená a marginální pravděpodobnost ===
Mějme <math>n</math>-rozměrný [[náhodný vektor]] <math>\mathbf{X}</math>, jehož složkami jsou diskrétní [[náhodná veličina|náhodné veličiny]] <math>X_i</math>. Jejich rozdělení lze popsat
:<math>P(\mathrm{x}) = P(x_1,x_2,...,x_n) = P[X_1=x_1\cap X_2=x_2\cap\cdots\cap X_n=x_n]</math>
Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina <math>X_1</math> nabude hodnotu <math>x_1</math>, náhodná veličina <math>X_2</math> nabude hodnoty <math>x_2</math>, atd. pro všechna <math>X_i</math> a <math>x_i</math>.
Pro <math>n=2</math>
▲Pro <math>n=2</math> zobrazujeme sdružené pravděpodobnosti v tzv. ''korelační tabulce''
{| class="wikitable"
|'''x'''
Řádek 168 ⟶ 167:
|}
Pravděpodobnosti <math>P_1(x_i)</math> a <math>P_2(y_j)</math> jsou
:<math>P_1(x) = \sum_y P(x,y)</math>
:<math>P_2(y) = \sum_x P(x,y)</math>
Řádek 183 ⟶ 182:
:<math>F(\infty,\infty)=1</math>
Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.
'''Marginální (okrajové) distribuční funkce''' lze pro vektor dvou proměnných <math>X</math> a <math>Y</math> zapsat vztahy
Řádek 194 ⟶ 192:
:<math>\int_\Omega \left[\int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = 1</math>
'''Marginální hustoty pravděpodobnosti'''
:<math>f_1(x) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}y</math>
:<math>f_2(y) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x</math>
Sdruženou distribuční funkci pak
:<math>F(x,y) = \int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^yf(t,u)\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}u</math>
Řádek 205 ⟶ 203:
Podobně lze postupovat také v případě <math>n</math>-rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti je pak
:<math>f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,...,x_n) = \frac{\partial^n F(x_1,x_2,...,x_n)}{\partial x_1\partial x_2\cdots\partial x_n}</math>
Řádek 216 ⟶ 214:
=== Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti ===
Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.
Pro dvě diskrétní náhodné veličiny <math>X, Y</math>
▲Pro dvě diskrétní náhodné veličiny <math>X, Y</math> můžeme zapsat podmíněnou pravděpodobnost veličiny <math>X</math> vzhledem k <math>Y</math> jako
:<math>P(x|y)= \frac{P(x,y)}{P_2(y)}</math>
pro <math>P_2(y)\neq 0</math>, kde <math>P_2(y)</math> je marginální pravděpodobnost a <math>P(x,y)</math> je pravděpodobnost sdružená.
Obdobně
▲Obdobně dostaneme pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny <math>Y</math> vzhledem k <math>X</math> vztah
:<math>P(y|x) = \frac{P(x,y)}{P_1(x)}</math>
pro <math>P_1(x)\neq 0</math>, kde <math>P_1(x)</math> je marginální pravděpodobnost a <math>P(x,y)</math> je opět sdružená pravděpodobnost.
Řádek 236 ⟶ 232:
==== Podmíněná hustota pravděpodobnosti ====
:<math>f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_2(y)}</math>
pro <math>f_2(y)\neq 0</math> a
Řádek 248 ⟶ 244:
== Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny ==
{{viz též|Charakteristika náhodné veličiny}}
Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky
Důležitými charakteristikami rozdělení jsou [[střední hodnota]] a [[rozptyl (statistika)|rozptyl]].
== Literatura ==
Řádek 261 ⟶ 256:
{{Portály|Matematika}}
{{Autoritní data}}
| |||