Zobrazení (matematika): Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap |
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
||
Řádek 3:
Zobrazení je pojmem nejen teorie množin, ale představuje ústřední pojem i pro [[matematická analýza|matematickou analýzu]] – [[funkce (matematika)|funkce]] je totiž také druhem zobrazení.
== Zobrazení z množiny do množiny ==
Nejobecnějším z hlediska množin, do kterých náleží vzory a obrazy, je zobrazení z množiny do množiny.
;Definice<ref name="Bartsch">{{Citace monografie
Řádek 21:
| id = 04-020-83
}}</ref>
Zobrazení <math>f \,\!</math> z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math> je taková [[binární relace]], pro kterou platí, že ke každému prvku <math>x \,\!</math> množiny <math>\mathcal{A}</math> přiřazuje nejvýše jeden takový prvek <math>y \,\!</math> množiny <math>\mathcal{B}</math> tak, že <math> [ x,y ] \in f</math>.
;Značení<ref name="Bartsch" />
<math>y=f(x) \,\!</math> nebo <math>f:x \mapsto y\,\!</math>
;Důležité pojmy<ref name="Bartsch" />
* Prvek <math>y=f(x) \in \mathcal{B}</math> se nazývá '''obrazem''' prvku <math>x \,\!</math> v zobrazení <math>f \,\!</math> nebo také '''hodnotou zobrazení''' <math>f \,\!</math> v bodě <math>x \,\!</math>. Podobně obraz množiny <math>\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}</math> v zobrazení <math>f</math> je množina <math>\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{B}</math>, na kterou se zobrazí <math>\mathcal{X}</math>: <math>\mathcal{Y} = f(\mathcal{X})</math>
* Prvek <math>x \in \mathcal{A}</math> se nazývá '''vzorem''' prvku <math>y=f(x) \,\!</math> v zobrazení <math>f \,\!</math>. Podobně vzor množiny <math>\mathcal{Y}</math> v zobrazení <math>f</math> je množina <math>\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}</math> obsahující všechny prvky, které se do množiny <math>\mathcal{Y}</math> zobrazí; značí se <math>\mathcal{X} = f^{-1}(\mathcal{Y})</math>
* Množina právě těch prvků <math>x \in \mathcal{A}</math>, pro které existuje právě jeden takový prvek <math>y \in \mathcal{B}</math>, že <math>y=f(x) \,\!</math>, se nazývá '''definičním oborem zobrazení''' <math>f \,\!</math> (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek <math>D(f)=\mathcal{D}_f=\mathrm{dom}\ f =\mathrm{dom}(f)\,\!</math>.
* Množina právě těch prvků <math>y \in \mathcal{B}</math>, pro které existuje aspoň jeden takový prvek <math>x \in \mathcal{A}</math>, že <math>f(x)=y \,\!</math>, se nazývá '''oborem hodnot zobrazení''' <math>f \,\!</math> (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek <math> H(f) = \mathcal{H}_f = \mathcal{R}_f = \mathrm{rng}\ f = \mathrm{rng} (f) = f(D(f)) = f(\mathcal{D}_f)</math>.
V [[teorie množin|teorii množin]] se tedy zobrazení definuje jako [[binární relace|binární]] [[Relace (matematika)|relace]] <math>f \,\!</math> splňující podmínku existence a jednoznačnosti:
:<math>\forall x \in D(f): \exists y([ x,y ] \in f)\ \land\ \forall( y_{1},y_{2})(([ x,y_{1}] \in f\ \land\ [ x,y_{2} ] \in f) \Rightarrow y_{1}=y_{2} )</math>.
== Typy zobrazení ==
=== Podle pokrytí výchozí a cílové množiny ===
;Zobrazení v množině<ref name="Bartsch" />
Zobrazení v množině <math>\mathcal{A}</math> je takové zobrazení <math>f \,\!</math> z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math>, pro které <math>\mathcal{A}=\mathcal{B}</math>, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.
;Zobrazení množiny do množiny<ref name="Bartsch" /><ref name="Rektorys" />
[[
Zobrazení množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math> je takové zobrazení <math>f \,\!</math> z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math>, pro které <math>D(f)= \mathcal{A}</math>. Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku <math>x \in \mathcal{A}</math> existuje (právě jeden) takový prvek <math>y \in \mathcal{B}</math>, že <math>y=f(x) \,\!</math>.
Řádek 47:
<math>f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math>
;[[Zobrazení na|Zobrazení z množiny na množinu]]<ref name="Bartsch" />
Zobrazení z množiny <math>\mathcal{A}</math> na množinu <math>\mathcal{B}</math> neboli '''surjektivní zobrazení''' (surjekce) je takové zobrazení <math>f \,\!</math> z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math>, pro které <math>H(f)=\mathcal{B}</math>. Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku <math>y \in \mathcal{B}</math> existuje aspoň jeden takový prvek <math>x \in \mathcal{A}</math>, že <math>f(x)=y \,\!</math>.
Řádek 68:
Zobrazení množiny <math>\mathcal{A}</math> na množinu <math>\mathcal{B}</math> je takové zobrazení <math>f \,\!</math> z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math>, pro které <math> D(f)= \mathcal{A} \land H(f)= \mathcal{B} </math>. Tedy ke každému prvku <math>x \in \mathcal{A}</math> existuje právě jeden takový prvek <math>y \in \mathcal{B}</math>, že <math>y=f(x) \,\!</math>, a ke každému prvku <math>y' \in \mathcal{B}</math> existuje aspoň jeden takový prvek <math>x' \in \mathcal{A}</math>, že <math>f(x')=y' \,\!</math>.
;Zobrazení na množině<ref name="Bartsch" />
Zobrazení na množině <math>\mathcal{A}</math> je takové zobrazení <math>f \,\!</math> množiny <math>\mathcal{A}</math> na množinu <math>\mathcal{B}</math>, pro které <math>\mathcal{A}=\mathcal{B}</math>, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.
=== Zobrazení prosté, vzájemně jednoznačné a inverzní ===
;[[Prosté zobrazení]]<ref name="Bartsch" /><ref name="Rektorys" />
Zobrazení f z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math> se nazývá prosté neboli '''injektivní zobrazení''' (injekce), právě když každé dva různé vzory <math> x_1 , x_2 \ \in D(f)</math> mají různé obrazy <math>y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) \in H(f)\,\!</math>:
:<math>\forall [ x_1,y_1 ] , [ x_2,y_2 ] \in f: x_1 \ne x_2 \ \Rightarrow \ y_{1} \ne y_{2}</math>
;[[Bijekce|Vzájemně jednoznačné zobrazení]]<ref name="Bartsch" />
Vzájemně jednoznačné zobrazení množin <math>\mathcal{A}</math> a <math>\mathcal{B}</math> neboli '''bijektivní zobrazení''' (bijekce) je prostým zobrazením množiny <math>\mathcal{A}</math> na množinu <math>\mathcal{B}</math>, je tedy injektivní a surjektivní zároveň.
Značí se:
<math>f: \mathcal{A} \leftrightarrow \mathcal{B}</math>
;[[Inverzní zobrazení]]<ref name="Bartsch" /><ref name="Rektorys" />
Je-li <math>f \,\!</math> prosté zobrazení z množiny <math>\mathcal{A}</math> do množiny <math>\mathcal{B}</math>, pak zobrazení <math>f^{-1} \,\!</math> z množiny <math>\mathcal{B}</math> do množiny <math>\mathcal{A}</math>, které každému <math> y \in H(f)\,\!</math> přiřazuje ten prvek <math>f^{-1} (y) = x \in D(f)\,\!</math>, pro nějž <math>y=f(x) \,\!</math>, se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení <math>f \,\!</math>. Jeho definičním oborem je tedy <math>D ( f^{-1} ) = H(f)\,\!</math> a platí <math> f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y</math>.
=== Podle druhu vzorů a obrazů ===
Například:
* [[Posloupnost]] je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
Řádek 94:
* [[Třídové zobrazení]] - vzory i obrazy jsou [[množina|množiny]] či [[třída (matematika)|třídy]].
=== Další speciální typy ===
Například:
* Totožnost ([[identita (matematika)|identita]]) - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
* [[Spojité zobrazení]] - k blízkým vzorům přiřazuje blízké obrazy.
Řádek 102:
== Příklad zobrazení ==
[[Soubor:Zobrazeni_druhy.svg|
Mějme množiny <math>\mathcal{A} = \{1, 2, 3, 4\}</math> a <math>\mathcal{B} = \{a, b, c, d\}</math>. Můžeme například definovat zobrazení <math>f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math> jako
* <math>1 \rightarrow a</math>
Řádek 111:
Na [[:Soubor:Zobrazeni_druhy.svg|obrázku]] jsou uvedeny příklady vztahů <math>A \rightarrow B</math>.
* Na ''a)'' je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
* Na ''b)'' je příklad [[Prosté zobrazení|prostého zobrazení]] množiny <math>A</math> do množiny <math>B</math>.
* Na ''c)'' je [[Bijekce|vzájemně jednoznačné zobrazení]] <math>A</math> na <math>B</math>.
* Na ''d)'' je zobrazení, které není prosté.
== Víceznačné zobrazení ==
Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název '''víceznačné zobrazení''' je matematický [[oxymoron]]. Pojem se ale běžně užívá pro [[Relace (matematika)|relaci]], kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení
:<math>\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}</math>
lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do [[potenční množina|potenční množiny]] ''B''
:<math>\mathcal{A} \rightarrow 2^\mathcal{B}</math>{{Doplňte zdroj}}
Řádek 125:
:<math>y = \pm \sqrt{ x }</math>
== Reference ==
<references/>
Řádek 131:
* [[Binární relace]]
* [[Skládání zobrazení]]
{{Autoritní data}}
[[Kategorie:Matematické relace a zobrazení]]
| |||