P-adické číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Bez shrnutí editace značka: editace z Vizuálního editoru |
m Úprava rozcestníku za pomoci robota: Ekvivalence - změna odkazu/ů na Ekvivalence (logika); kosmetické úpravy |
||
Řádek 1:
{{DISPLAYTITLE:''p''-adické číslo}}
'''P-adická čísla''' (značená '''Q'''<sub>''p''</sub>) jsou [[číselná struktura]] používaná v [[matematika|matematice]], zejména v [[teorie čísel]].
Základem formálního zavedení p-adických čísel je alternativní pohled na funkci [[absolutní hodnota|absolutní hodnoty]]. Ta je obvyklou [[metrika|metrikou]], chceme-li uvažovat [[těleso (algebra)|těleso]] racionálních čísel jako [[metrický prostor]]. Zavedení jiné metriky nám dává možnost zkonstruovat jiné [[úplný prostor|zúplnění]] prostoru racionálních čísel. Vznikne nám tak alternativní [[topologický prostor]] k reálným číslům, v kterém je pro každou [[Cauchyovská posloupnost|Cauchyovskou posloupnost]] obsažena i její limita. Tím je dána i možnost vybudovat alternativní [[kalkulus]], totiž [[p-adická analýza|p-adickou analýzu]].
Řádek 11:
Tedy například 13 je v [[dvojková soustava|dvojkové soustavě]] <math>1101_2=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0</math>, v [[trojková soustava|trojkové soustavě]] je <math>111_3=1\cdot 3^2+1\cdot 3^1+1\cdot 3^0</math>.
Na základě takového zápisu můžeme pomocí celých čísel definovat čísla [[racionální číslo|racionální]] (a posléze [[reálné číslo|reálná]]), totiž když povolíme nekonečně číslic za [[řádová čárka|řádovou čárkou]] a tedy [[nekonečný součet|nekonečné součty]]
:<math>\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i.</math>
Operace s nekonečnými součty předpokládá možnost definovat [[limita posloupnosti|limity]], jejichž definice je závislá na [[metrický prostor|metrice]].
V případě p-adických čísel naopak povolíme nekonečné součty v podobě:
Řádek 30:
Pro dané prvočíslo ''p'' budeme definovat ''p-adickou absolutní hodnotu'' na racionálních číslech takto:
Pro každé nenulové racionální číslo ''x'' existuje jednoznačně dané [[celé číslo]] ''n'', pro které můžeme zapsat
:<math>x=p^n\frac{a}{b}</math>,
kde ani jedno z celých čísel ''a'' a ''b'' není [[dělitelnost|dělitelné]] ''p''. Pokud není čitatel ani jmenovatel ''x'' dělitelný ''p'', pak je ''n'' rovno 0. Nyní můžeme definovat ''p-''-adickou absolutní hodnotu:
:<math>|x|_p=p^{-n}</math> a <math>|0|_p=0</math>
Řádek 40:
:<math>\displaystyle|x|_7=1/7 \,\!</math>
:<math>|x|_{11}=11 \,\!</math>
:<math>|x|_{p}=1</math>
Podle [[Ostrowského věta|Ostrowského věty]] platí, že každá [[absolutní hodnota (algebra)|zobecněná absolutní hodnota]] na racionálních číslech odpovídá buď eukleidovské absolutní hodnotě, triviální absolutní hodnotě, nebo ''p''adické absolutní hodnotě pro nějaké ''p''. Tím je dáno, že z hlediska normy konstrukcí ''p''-adických těles vyčerpáváme všechna možná další rozšíření racionálních čísel.
Na základě ''p''-adické absolutní hodnoty lze definovat metriku
:<math>d_p(x,y)=|x-y|_p \,\!</math>
Těleso ''p''-adických čísel '''Q'''<sub>''p''</sub>
Dá se ukázat, že každý z prvků vzniklého tělesa lze jednoznačným způsobem zapsat ve tvaru
Řádek 55:
== Vlastnosti ==
Okruh p-adických čísel je [[inverzní limita|inverzní limitou]] konečných okruhů '''Z'''/''p''<sup>''k''</sup>'''Z''', ovšem má [[nespočetná množina|nespočetně]] prvků a má [[mohutnost kontinua]]. Stejně tak je nespočetné těleso '''Q'''<sub>''p''</sub>. [[Okruh endomorfismů]] [[Prüferova grupa|Prüferovy ''p''-grupy]] hodnosti ''n'', značený '''Z'''(''p''<sup>∞</sup>)<sup>''n''</sup>, odpovídá [[maticový okruh|maticovému okruhu]] matic řádu ''n'' nad ''p''-adickými celými čísly a občas bývá nazýván [[Tateův modul]].
Těleso p-adických čísel obsahuje čísla racionální a je [[charakteristika (matematika)|charakteristiky]] 0. Není možné z něj vytvořit [[uspořádané těleso]].
| |||