Wikipedie

Metrický tenzor: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m narovnání přesměrování
m Robot: náhrada zastaralé matematické syntaxe podle mw:Extension:Math/Roadmap
Řádek 11:
Předpokládejme, že <math>x_i</math> představují [[kartézské souřadnice]] v <math>n</math>-[[Dimenze vektorového prostoru|rozměrném]] [[eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]]. V takovém případě lze s použitím [[Einsteinovo sumační pravidlo|Einsteinova sumačního pravidla]] psát
:<math>\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}x_i\,\mathrm{d}x^i</math>
Použijeme-li v tomto prostoru [[křivočaré souřadnice]] <math>\xi_j</math>, tzn. <math>\mathrm{d}x_i = \frac{\partpartial x_i}{\partpartial \xi^j}\mathrm{d}\xi^j</math>, lze metrickou formu přepsat na tvar
:<math>\mathrm{d}s^2 = \frac{\partpartial x_i}{\partpartial \xi^j}\frac{\partpartial x_i}{\partpartial \xi^k}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k</math>
 
Vyjádříme-li metrický tenzor jako
:<math>g_{ij} = \frac{\partpartial x_k}{\partpartial\xi^i}\frac{\partpartial x_k}{\partpartial\xi^j} = \frac{\partpartial x_1}{\partpartial\xi^i}\frac{\partpartial x_1}{\partpartial\xi^j} + \frac{\partpartial x_2}{\partpartial\xi^i}\frac{\partpartial x_2}{\partpartial\xi^j} + \cdots + \frac{\partpartial x_n}{\partpartial\xi^i}\frac{\partpartial x_n}{\partpartial\xi^j}</math>,
pak lze metrickou formu v křivočarých souřadnicích vyjádřit jako
:<math>\mathrm{d}s^2 = g_{jk}\mathrm{d}\xi^j\mathrm{d}\xi^k</math>
Řádek 28:
 
Podobně lze pro [[kontravariantní tenzor|kontravariantní složky]] metrického tenzoru psát
:<math>g^{ij} = (\mathbf{e}^i,\mathbf{e}^j) = \frac{\partpartial\xi^i}{\partpartial x_k}\frac{\partpartial\xi^j}{\partpartial x_k}</math>
a pro [[smíšený tenzor|smíšené]] složky
:<math>g_j^i = (\mathbf{e}^i,\mathbf{e}_j) = \frac{\partpartial\xi^i}{\partpartial x_k}\frac{\partpartial x_k}{\partpartial\xi^j} = \delta_j^i</math>,
kde <math>\delta_j^i</math> je [[Kroneckerovo delta]] a <math>\mathbf{e}^i, \mathbf{e}_i</math> jsou prvky [[sdružené báze|sdružených bází]].
 
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Metrický_tenzor“