Uspořádaná množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Množiny obvykle značíme velkými písmeny; prázdná relace je přiléhavější, oprava pomlček a úrovní nadpisů |
Poznámky k definici v perexu, značení, definice úplného a částečného uspořádání. |
||
Řádek 1:
'''Uspořádaná množina''' je [[množina]], na které je definováno [[uspořádání]]. '''Uspořádání''' je [[binární relace]], která je [[Reflexivní relace|reflexivní]], [[Tranzitivní relace|tranzitivní]] a [[Slabě antisymetrická relace|(slabě) antisymetrická]]. Definice nevyžaduje, aby každé dva prvky množiny byly porovnatelné, proto se také používá název '''částečně uspořádaná množina'''. Uspořádání použité v definici je [[Ostré uspořádání|neostré]] (podmínka reflexivity říká, že pro každý prvek <math>x</math> množiny je <math>xRx</math>). Relaci uspořádání často značíme ≤, ⩽, případně (pokud chceme zdůraznit, že se nejedná o relaci „menší nebo rovno“ na číslech) ⪯ nebo ⪳.
'''Uspořádaná množina''' je [[množina]], na které je definováno '''uspořádání'''.▼
'''Úplně uspořádaná množina''' je uspořádaná množina, jejíž každé dva prvky jsou porovnatelné, tj. <math>xRy</math> nebo <math>yRx</math>.
== Definice ==
''Hlavní článek: [[Uspořádání]]''
Řádek 8 ⟶ 12:
* <math>( \forall x,y \isin A)((xRy \and yRx) \implies x = y)</math> – slabá antisymetrie (neexistují cykly v uspořádání)
Toto uspořádání nazýváme také
'''Ostré uspořádání''' má definici shodnou s neostrým, ale podmínka reflexivity je nahrazena podmínkou [[Antireflexivní relace|antireflexivity]]:
* <math>( \forall x \isin A)( \neg(xRx)) </math> – antireflexivita (žádný prvek není v relaci sám se sebou).
'''Úplné uspořádání''' (též '''lineární uspořádání''') na množině ''A'', je takové uspořádání, že <math>\forall x,y \isin A</math> je <math>xRy</math> nebo <math>yRx</math> (v případě ostrého uspořádání je to přirozeně vyžadováno pouze pro dvojice různých prvků). Uspořádání, které není úplné, se nazývá '''částečné uspořádání'''.
'''(Částečně) uspořádaná množina''' je [[množina]], na které je definováno neostré částečné uspořádání.
▲'''
== Příklady ==
| |||