Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
|||
Řádek 1:
[[Soubor:Pmdsgdbhxdfgb2.jpg|
'''Axiomatická teorie množin''' je označení pro teorii, která formalizuje vlastnosti množin takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná tvrzení této teorie budu přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky ([[algebra]], [[diferenciální rovnice]], [[geometrie]], [[teorie pravděpodobnosti]] i všechny ostatní).{{Doplňte zdroj}}
Řádek 34:
=== Uspořádané dvojice ===
Symbol ''(a, b)'' pokládáme za zkratku pro ''<nowiki>{{a}, {a, b}}</nowiki>'' .Tato definice splňuje základní vlastnost, kterou od uspořádaných dvojic čekáme:
:''(a, b) = (c, d)'' právě když ''a = c'' a zároveň ''b = d''.
Řádek 49:
=== Celá čísla ===
[[Soubor:Relatives Numbers Representation.png|
Máme-li definovaná přirozená čísla, pak by se mohlo zdát přirozené reprezentovat záporné číslo <math> -n </math> jako <math> (0, n) </math>. To však nelze, protože pro některá přirozená čísla <math> m, n </math> by mohlo platit <math> m = (0, n) </math><!--<ref group=pozn>Mějme množiny <math>\scriptstyle \left( n+1 \right) = \left\{ \emptyset , \left\{ n \right\} \right\}</math> a <math>\scriptstyle \left( -n \right) = \left\{ \emptyset , \left\{ n \right\} \right\}</math>. Pak zjevně platí <math>\scriptstyle \left( n+1 \right) = \left( -n \right)</math>.</ref>-->.
Řádek 56:
Idea je reprezentovat celé číslo <math>z</math> nekonečnou množinou takových dvojic <math>(a, b)</math>, že <math>a, b</math> jsou přirozená čísla splňující <math>z = a - b</math>. Například <math>-2 = \{ (0, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 5), .... \}</math>
Formálně: Množina celých čísel je definována jako rozklad (tedy množina všech [[třída ekvivalence|tříd ekvivalence]]) [[Kartézský součin|kartézského součinu]] <math>\omega_0</math> x <math>\omega_0</math> podle ekvivalence:
:<math>(a, b)</math> ~ <math>(c, d)</math> právě když <math>a + d = b + c</math>.
Řádek 62:
* Pro sčítání: <math>e = a + c, f = b + d </math>
* Pro násobení: <math>e = a.c + b.d , f = a.d - b.c </math>
Vzoreček pro násobení lze snadno odvodit roznásobením vztahu
:<math>e-f = (a-b) . (c - d) </math>
Podobně se postupuje i u dalších matematických operací.
Řádek 81:
:<math>(a, b)</math> ~ <math>(c, d)</math> právě když <math> a.d = b.c </math>.
[[Soubor:Dedekind cut- square root of two.png|
V této definici <math>Z</math> značí množinu celých čísel definovanou výše a zápis <math> b<>0 </math> se týká nuly jako celého čísla, což je formálně jiný objekt, než nula jako přirozené číslo.
Řádek 110:
== Historie ==
[[Soubor:Diagonal argument 2.svg|
Axiomatická teorie množin se vyvinula během dvacátého století z [[naivní teorie množin]], kterou zavedli [[Georg Cantor]] a další.
Řádek 192:
==== Zermelova-Fraenkelova teorie množin s axiomem výběru ====
{{Viz též|ZFC}}
Zkratkou '''ZFC''' je označována axiomatická soustava teorie množin, kterou tvoří axiomy Zermelo-Fraeneklovy teorie množin a [[axiom výběru]] (zkratka AC - z anglického ''axiom of choice'').
* '''Axiom výběru''': Na každé množině existuje [[selektor]].<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Balcar
Řádek 237:
* '''axiom existence množiny''': <math>\scriptstyle (\exist X,Y)(X\in Y)</math>
* '''axiom extenzionality pro třídy''': <math>\scriptstyle (\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y)</math>
* '''schéma existence tříd''': <math>\scriptstyle (\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi)</math> kde <math>\scriptstyle \Phi</math> je formule v níž jsou kvantifikovány pouze množinové proměnné
* '''axiom dvojice''': <math>\scriptstyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y))</math>
* '''axiom nahrazení''': <math>\scriptstyle (\forall F)((\forall y,e_1,e_2)((<y,e_1> \in F \and <y,e_2>\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \and <y,e>\in F)))</math>
Řádek 251:
* '''axiom existence množiny''': <math>\scriptstyle (\exist X,Y)(X\in Y)</math>
* '''axiom extenzionality pro třídy''': <math>\scriptstyle (\forall X,Y)(X=Y \Leftrightarrow (\forall e)(e \in X \Leftrightarrow e\in Y)</math>
* '''schéma existence tříd''': <math>\scriptstyle (\exists Z)(\forall e)(e\in Z \Leftrightarrow \Phi)</math> kde <math>\Phi</math> je libovolná formule jazyka teorie množin
* '''axiom dvojice''': <math>\scriptstyle (\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e \in z \Leftrightarrow (e=x \vee e=y))</math>
* '''axiom nahrazení''': <math>\scriptstyle (\forall F)((\forall y,e_1,e_2)((<y,e_1> \in F \and <y,e_2>\in F) \Rightarrow e_1=e_2) \Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z \Leftrightarrow (\exists y)(y \in x \and <y,e>\in F)))</math>
Řádek 289:
{{Teorie množin}}
{{Autoritní data}}
[[Kategorie:Teorie množin]]
| |||
