Jacobiho matice a determinant: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Avodjag přesunul stránku Jacobiho determinant na Jacobiho matice a determinant: rozšíření článku, podrobnosti o Jacobiho matici jinde nejsou |
rozšíření stránky o informace o Jacobiho matici, překlad z angličtiny značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 1:
'''Jacobiho
Oba pojmy získaly své jméno od slavného matematika [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carla Gustava Jacoba Jacobiho]].
==Definice==
Nechť
<math>\vec{f} :R^n\rightarrow R^
, Jacobiho maticí <math>J</math> nazveme matici <math>m \times n</math> následujícího tvaru:
<math>\vec{x} \in R^n </math>▼
<math>\vec{f} </math>▼
v bodě▼
<math>
▲<math>det \begin{pmatrix}\frac{\part f_1}{\part x_1} & \frac{\part f1}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_1}{\part x_n}
\\ \frac{\part f_2}{\part x_1} & \frac{\part f_2}{\part x_2} & \cdots & \frac{\part f_2}{\part x_n}
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\ \frac{\part
<math>( \vec{x} )</math>.▼
Pokud <math>m=n</math>, je Jacobiho matice čtvercová a její determinant se nazývá Jacobiho determinant funkce
.
== Vlastnosti ==
Pokud je funkce
▲<math>\vec{f} </math>
▲v bodě
<math>\vec{x} \in R^n </math> [[Diferencovatelná funkce|diferencovatelná]], pak Jacobiho matice definuje [[lineární zobrazení]] <math>L :R^n\rightarrow R^n </math>, které je nejlepší lineární aproximací funkce <math>\vec{f} </math> v blízkosti bodu <math>\vec{x} </math>. Toto lineární zobrazení je zobecnění [[derivace]] a nazývá se ''derivace'' nebo ''diferenciál'' funkce <math>\vec{f} </math> v bodě <math>\vec{x} </math>.
Jacobiho matice je zobecnění [[Gradient (matematika)|gradientu]] (a pro <math>m=1 </math> je rovna gradientu). Jacobiho matice vlastně vyjadřuje míru změny v daném místě.
Důležité informace o chování funkce nese také Jacobiho determinant. Konkrétně, funkce <math>\vec{f} </math> má v okolí bodu <math>\vec{x} </math> diferencovatelnou [[Inverzní zobrazení|inverzní funkci]] právě tehdy, pokud je Jacobiho determinant v bodě <math>\vec{x} </math> nenulový. S tímto také souvisí dosud nedokázaná Jacobiho domněnka.
=== Aplikace ===
Jacobiho matice se používá k lineárním aproximacím. Její [[Vlastní vektor|vlastní vektory]] také určují chování určitých dynamických systémů.
Jacobián je užitečný při substituci ve výpočtech vícerozměrných integrálů.
==Příklady==
=== Příklad 1 ===
Mějme funkci <math>\vec{f} :R^2\rightarrow R^2 </math> určenou vztahem
: <math>\vec f(x, y) = \begin{pmatrix} x^2xy \\ 5x+ \sin y \end{pmatrix} </math>.
Potom platí
a
: <math>f_2(x, y) = 5 x + \sin y</math>.
Jacobiho matice je tedy
: <math> J_{\vec f}(x, y) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\[1em]
\dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 x y & x^2 \\
5 & \cos y \end{pmatrix}</math>
a Jacobiho determinant se rovná
: <math>\det( J_{\vec f}(x, y)) = 2 x y \cos y - 5 x^2 .</math>
=== Příklad 2 ===
Pokusme se nyní vypočítat Jacobián [[Polární soustava souřadnic|polárních souřadnic]]. Ty jsou zavedené následujícími vztahy:
Řádek 28 ⟶ 61:
Platí tedy:
<math>J_{(
<math>\begin{vmatrix}\frac{\part x}{\part \varrho} & \frac{\part x}{\part \varphi}
\\ \frac{\part y}{\part \varrho} & \frac{\part y}{\part \varphi} \end{vmatrix}</math>
Řádek 39 ⟶ 72:
Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. ISBN 978-80-01-04315-8.
{{Překlad|jazyk=en|článek=Jacobian matrix and determinant|revize=721448056}}
<references />
[[Kategorie:Integrální počet]]
| |||