Metrický prostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Příklady na diskrétních množinách: česky přímo Levenštejn |
upraveny a přidány příklady metrik, přidány vlastnosti množin v metrických prostorech a jejich praktické příklady značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 43:
=== Metriky v <math>\mathbb{R}^n</math> ===
Množina [[reálné číslo|reálných čísel]] spolu s metrikou <math>\rho (x, y) = |x - y|</math> ([[absolutní hodnota]]), kde <math>x,y</math> jsou libovolné body množiny <math>\mathbb{R}</math>, tvoří [[úplný prostor|úplný]] metrický prostor.
Řádek 48 ⟶ 50:
* Na množině <math>\mathbb{R}^n</math> lze definovat tzv. '''[[Euklidovská metrika|euklidovskou metriku]]''', která vyjadřuje délku [[úsečka|úsečky]] mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá [[Eukleidovský prostor|euklidovský prostor]] [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] <math>n</math> a označuje se <math>E_n</math>. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též [[Pythagorova věta]]):
*:[[Soubor:Ball_taxi_metric.svg|vpravo|300x300pixelů|Uzavřená koule se středem [2;1,5] a poloměrem 1 v euklidovské metrice.]]<math>\
* tzv. '''součtová''' či '''[[manhattanská metrika]]''' (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na [[Manhattan]]u, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os).
*: <math>\rho = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|=(\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|</math>
* tzv. '''maximová metrika''':
*: <math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \}</math>
Na jakémkoli [[Normovaný lineární prostor|normovaném vektorovém prostoru]] lze definovat pošťáckou (pařížskou, moskevskou...) metriku: <math>\rho(x,y)=\|x\|+\|y\|</math> pro <math>x\neq y</math> a <math>\rho (x,x)=0</math>. V této metrice hraje důležitou roli počátek. Dá se to představit tak, že všechny cesty z místa A do místa B vedou nejprve z A do tohoto významného bodu (Paříž, Moskva...) a až poté do B.
=== Příklady metrik na množinách funkcí ===
*[[Soubor:Uniform_metric.svg|vpravo|190x190pixelů|Uniformní metrika]]Metrickým prostorem <math>C(\langle a, b\rangle)</math> nazýváme '''prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] na [[interval (matematika)|intervalu]]''' <math>\langle a, b\rangle\,\!</math> s metrikou
*: <math>\rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}</math> (tzv. uniformní metrika)
* Další možnou metrikou v '''prostoru spojitých funkcí na intervalu''' <math>(a, b)</math> je '''[[integrál]]ní metrika''' (pak se tento prostor nazývá [[Lp prostor|L<sub>p</sub> prostor]])
*: <math>\rho(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}</math>
Řádek 68 ⟶ 71:
=== Další příklady ===
* V každém [[Riemannův prostor|Riemannově prostoru]] je možné definovat vzdálenosti bodů.
* <math>\mathcal {M}</math> je množina vlakových nádraží a metrika definovaná na této množině je vzdálenost po kolejích mezi jednotlivými nádražími.
== Vlastnosti množin v metrickém prostoru ==
Buď <math>(X,\rho)</math> metrický prostor, <math>x\in X, \epsilon>0, M\subset X</math>:
* Otevřená koule se středem v bodě x a poloměrem ε je množina <math>B(x,\epsilon)=\{y\in X; \rho (x,y)<\epsilon\}</math>. Někdy místo o otevřené kouli mluvíme o ε-okolí bodu x, pak ho značíme <math>\mathcal{U}(x,\epsilon)</math>. Prstencové (redukované) ε-okolí bodu x je<math>P(x,\epsilon)=\mathcal{U}(x,\epsilon) \setminus \{x\}</math>
* Uzavřená koule je množina <math>\bar{B}(x,\epsilon)=\{y\in X;\rho (x,y)\leq \epsilon\}</math>.
* <math>\rho_M=\rho|_{M\text{x}M}</math> (zúžení na <math>M\text{x}M</math>) je metrika na <math>M</math> a prostor <math>\rho (M,\rho _M)</math> se nazývá podprostor metrického prostoru <math>(X,\rho)</math>.
* Řekneme, že x je vnitřní bod množiny M, jestliže existuje ε>0 splňující <math>\mathcal{U}(x,\epsilon)\subset M</math>. Množina všech vnitřních bodů množiny M nazýváme vnitřkem množiny M a značíme <math>M^0</math> nebo <math>Int M</math>.
* Množinu se nazývá [[Otevřená množina|otevřená]], jestliže <math>M=M^0</math>.
* Bod x je hromadným bodem množiny M, jestliže platí <math>\forall \epsilon>0: P(x,\epsilon)\cap M \neq \varnothing</math>. Množina hromadných bodů množiny M se nazývá derivace množiny M a značí se symbolem <math>M'</math>.
* Množina M je [[Uzavřená množina|uzavřená]], jestliže <math>X\setminus M</math> je otevřená (nebo taky jestliže všechny hromadné body patří do M).
* [[Uzávěr množiny|Uzávěrem množiny]] M rozumíme množinu <math>\bar{M}=\{x\in X; \forall \epsilon>0: \mathcal{U}(x,\epsilon)\cap M\neq\varnothing\}</math>
* Řekneme, že bod x je hraničním bodem množiny M, jestliže platí <math>\forall \epsilon>0: (\mathcal{U}(x,\epsilon)\cap M \neq \varnothing)\or (\mathcal{U}(x,\epsilon)\cap (X\setminus M)\neq\varnothing)</math>. Množinu všech hraničních bodů nazýváme [[Hranice množiny|hranice]] a značíme ji <math>\delta M</math>. Z definice vidíme, že tyto body patří do uzávěru množiny i do uzávěru doplňku množiny.
* Množina M je hustá v X, jestliže <math>\bar{M}=X</math>.
* Vzdálenost bodu x od množiny M definujeme předpisem <math>dist(x,M):=\underset{z\in M}{inf \rho (x,y)}</math>, kde <math>inf</math> znační [[infimum]].
* Diametrem (průměrem) množiny M rozumíme číslo definované předpisem <math>diam M = f(n) = \begin{cases} 0, & \text{pokud } M=\varnothing \\ \underset{x,y \in M}{sup \rho(x,y)}, & \text{pokud }M\neq\varnothing \end{cases}</math>, , kde <math>sup</math> značí [[supremum]].
* Množina M se nazývá [[Omezená množina|omezená]], jestliže <math>\exists K: diam M<K</math>
== Příklady ==
V <math>\mathbb{R}</math> s eukleidovskou normou:
* <math>M=(0,1)</math> : je otevřená, není uzavřená <math>M^0=M, \bar{M}=\langle0,1\rangle, \delta M=\{0;1\}</math>, omezená
* <math>M=\langle0,1\rangle</math> : není otevřená, je uzavřená, <math>M^0=(0,1), \bar{M}=\langle0,1\rangle, \delta M=\{0;1\}</math>, omezená
* <math>M=\bigl(0,1\rangle</math> : není otevřená ani uzavřená, <math>M^0=(0,1), \bar{M}=\langle0,1\rangle, \delta M=\{0;1\}</math>, omezená
* <math>M=(-\infty,\infty)</math>: je otevřená i uzavřená, <math>M^0=M, \bar{M}=M, \delta M=\{\}</math>, neomezená
== Porovnání metrik ==
Řádek 91 ⟶ 118:
* [[Uzavřená množina|Uzavřený podprostor]] se definuje podobně, jako na reálných číslech, ovšem prostor může být uzavřený vůči některým svým nadprostorům a otevřený vůči jiným. Je-li uzavřený vůči všem, pak se nazývá [[Absolutně uzavřená množina|absolutně uzavřený]]
* [[Úplný metrický prostor]] je metrický prostor, v němž každá [[cauchyovská posloupnost]] je [[Konvergentní posloupnost|konvergentní]]. Prostor je úplný, právě když je absolutně uzavřený.
▲* Každý [[normovaný vektorový prostor]] je metrickým prostorem.
== Zobecnění ==
| |||